Номер 1026, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1026, страница 345.

Условие.

1026. Построить график функции $y = \frac{5}{x-2}$. Показать, что функция убывает на промежутках $x<2$ и $x>2$. В какой точке график функции пересекает ось ординат?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построить график функции $y = \frac{5}{x-2}$

Для построения графика функции $y = \frac{5}{x-2}$ проанализируем ее свойства. Данная функция является дробно-линейной, ее график — гипербола.

1. Область определения.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Асимптоты.
График имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты.
- Вертикальная асимптота — прямая $x = 2$, так как в этой точке функция не определена.
- Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значение $y = \frac{5}{x-2}$ стремится к нулю.

3. Построение графика.
График функции $y = \frac{5}{x-2}$ получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox. Поскольку коэффициент $k=5 > 0$, ветви гиперболы будут располагаться в первой и третьей четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=2$ и $y=0$.

4. Контрольные точки.
Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

• Если $x = 3$, то $y = \frac{5}{3-2} = 5$. Точка $(3; 5)$.
• Если $x = 4$, то $y = \frac{5}{4-2} = 2.5$. Точка $(4; 2.5)$.
• Если $x = 7$, то $y = \frac{5}{7-2} = 1$. Точка $(7; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = \frac{5}{1-2} = -5$. Точка $(1; -5)$.
• Если $x = 0$, то $y = \frac{5}{0-2} = -2.5$. Точка $(0; -2.5)$.
• Если $x = -3$, то $y = \frac{5}{-3-2} = -1$. Точка $(-3; -1)$.

Соединяя эти точки плавными кривыми, которые приближаются к асимптотам $x=2$ и $y=0$, мы получаем искомый график.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром в точке $(2, 0)$, вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, где $x > 2, y > 0$ и $x < 2, y < 0$. Ключевые точки для построения: $(3; 5), (4; 2.5), (1; -5), (0; -2.5)$.

Показать, что функция убывает на промежутках $x<2$ и $x>2$

Чтобы определить промежутки монотонности функции, найдем ее производную. Функция $y = \frac{5}{x-2}$ может быть записана как $y = 5(x-2)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = \left(5(x-2)^{-1}\right)' = 5 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -5(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x-2)^2}$

Теперь проанализируем знак производной $y' = -\frac{5}{(x-2)^2}$ на области определения функции $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

• Числитель дроби равен -5, он всегда отрицателен.
• Знаменатель $(x-2)^2$ является квадратом выражения, поэтому он всегда положителен при любом $x \neq 2$.

Таким образом, производная $y'$ представляет собой частное отрицательного числа и положительного числа, а значит, она всегда отрицательна ($y' < 0$) для всех $x$ из области определения.

Согласно свойству производной, если $f'(x) < 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале. Следовательно, функция $y = \frac{5}{x-2}$ убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = -\frac{5}{(x-2)^2}$ отрицательна для всех $x \neq 2$, что доказывает, что функция убывает на промежутках $x<2$ и $x>2$.

В какой точке график функции пересекает ось ординат?

График функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке, у которой абсцисса (координата $x$) равна нулю.

Чтобы найти эту точку, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = \frac{5}{0-2} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Таким образом, ордината точки пересечения равна -2.5. Сама точка пересечения имеет координаты $(0; -2.5)$.

Ответ: График функции пересекает ось ординат в точке $(0; -2.5)$.