Номер 1027, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1027, страница 345.

Условие.

1027. Выяснить основные свойства и построить график функции:

1) $y = 3^x + 1$;

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 3$;

3) $y = \log_2(x+1)$;

4) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$;

5) $y = \sqrt{x+1} - 2$;

6) $y = \sqrt{2x-1} + 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 3^x + 1$

Это показательная функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = 3^x$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $3^x$ определено для любого действительного $x$.
• Область значений: Так как $3^x > 0$ для всех $x$, то $3^x + 1 > 1$. Следовательно, $E(y) = (1; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей. Сдвиг вверх не меняет монотонность, поэтому функция $y=3^x+1$ возрастает на всей области определения.
• Асимптоты: График функции $y=3^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига на 1 вверх, асимптота становится $y=1$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = 3^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.
  • С осью OX (y=0): $3^x + 1 = 0 \Rightarrow 3^x = -1$. Это уравнение не имеет решений, так как $3^x > 0$. Пересечений с осью OX нет.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=3^x$. Он проходит через точки $(-1, 1/3)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$.

2. Сдвигаем этот график на 1 единицу вверх. Контрольные точки переходят в $(-1, 4/3)$, $(0, 2)$, $(1, 4)$.

3. Проводим горизонтальную асимптоту $y=1$. График приближается к этой прямой при $x \to -\infty$.

Ответ: Основные свойства функции $y=3^x+1$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$; область значений $E(y)=(1; +\infty)$; функция строго возрастающая; горизонтальная асимптота $y=1$; пересечение с осью OY в точке $(0, 2)$, с осью OX пересечений нет. График функции представляет собой кривую, проходящую через точки $(-1, 4/3)$, $(0, 2)$, $(1, 4)$ и асимптотически приближающуюся к прямой $y=1$ слева.

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 3$

Это показательная функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = (\frac{1}{2})^x$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $(\frac{1}{2})^x > 0$, то $(\frac{1}{2})^x - 3 > -3$. Следовательно, $E(y) = (-3; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание степени $0 < 1/2 < 1$, функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Сдвиг вниз не влияет на монотонность, поэтому функция $y=(\frac{1}{2})^x - 3$ убывает на всей области определения.
• Асимптоты: График $y=(\frac{1}{2})^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига на 3 вниз, асимптота становится $y=-3$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = (\frac{1}{2})^0 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка пересечения $(0, -2)$.
  • С осью OX (y=0): $(\frac{1}{2})^x - 3 = 0 \Rightarrow (\frac{1}{2})^x = 3 \Rightarrow x = \log_{1/2} 3 = -\log_2 3 \approx -1.58$. Точка пересечения $(-\log_2 3, 0)$.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=(\frac{1}{2})^x$. Он проходит через точки $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$.

2. Сдвигаем этот график на 3 единицы вниз. Контрольные точки переходят в $(-1, -1)$, $(0, -2)$, $(1, -2.5)$.

3. Проводим горизонтальную асимптоту $y=-3$. График приближается к этой прямой при $x \to +\infty$.

Ответ: Основные свойства функции $y=(\frac{1}{2})^x-3$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$; область значений $E(y)=(-3; +\infty)$; функция строго убывающая; горизонтальная асимптота $y=-3$; пересечение с осью OY в точке $(0, -2)$, с осью OX в точке $(-\log_2 3, 0)$. График функции - кривая, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, -2)$, $(1, -2.5)$ и асимптотически приближающаяся к прямой $y=-3$ справа.

3) $y = \log_2(x+1)$

Это логарифмическая функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = \log_2 x$ путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси OX.

Основные свойства:

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$. Таким образом, $D(y) = (-1; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, как у любой логарифмической функции.
• Монотонность: Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: График функции $y=\log_2 x$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. После сдвига на 1 влево, асимптота становится $x=-1$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = \log_2(0+1) = \log_2 1 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
  • С осью OX (y=0): $\log_2(x+1) = 0 \Rightarrow x+1=2^0 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$. График проходит через начало координат.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=\log_2 x$. Он проходит через точки $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.

2. Сдвигаем этот график на 1 единицу влево. Контрольные точки переходят в $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(3, 2)$.

3. Проводим вертикальную асимптоту $x=-1$. График приближается к этой прямой при $x \to -1^+$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\log_2(x+1)$: область определения $D(y)=(-1; +\infty)$; область значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$; функция строго возрастающая; вертикальная асимптота $x=-1$; пересекает оси координат в точке $(0, 0)$. График функции - кривая, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(3, 2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=-1$.

4) $y = \log_{1/3}(x-1)$

Это логарифмическая функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = \log_{1/3} x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Основные свойства:

• Область определения: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Таким образом, $D(y) = (1; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание логарифма $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• Асимптоты: График $y=\log_{1/3} x$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. После сдвига на 1 вправо, асимптота становится $x=1$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $x=0$ не входит в область определения, поэтому пересечения с осью OY нет.
  • С осью OX (y=0): $\log_{1/3}(x-1) = 0 \Rightarrow x-1=(1/3)^0 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2$. Точка пересечения $(2, 0)$.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=\log_{1/3} x$. Он проходит через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$.

2. Сдвигаем этот график на 1 единицу вправо. Контрольные точки переходят в $(4/3, 1)$, $(2, 0)$, $(4, -1)$.

3. Проводим вертикальную асимптоту $x=1$. График приближается к ней при $x \to 1^+$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\log_{1/3}(x-1)$: область определения $D(y)=(1; +\infty)$; область значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$; функция строго убывающая; вертикальная асимптота $x=1$; пересечение с осью OX в точке $(2, 0)$, с осью OY пересечений нет. График функции - кривая, проходящая через точки $(4/3, 1)$, $(2, 0)$, $(4, -1)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=1$.

5) $y = \sqrt{x+1} - 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y_0 = \sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси OX и на 2 единицы вниз по оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. $D(y) = [-1; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1} - 2 \ge -2$. $E(y) = [-2; +\infty)$.
• Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: Асимптот нет. График начинается в точке $(-1, -2)$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = \sqrt{0+1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
  • С осью OX (y=0): $\sqrt{x+1} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} = 2 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.

Построение графика:

1. Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(-1, -2)$.

2. Находим еще несколько точек: пересечение с OY $(0, -1)$, пересечение с OX $(3, 0)$.

3. Строим ветвь параболы, выходящую из точки $(-1, -2)$ и проходящую через точки $(0, -1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\sqrt{x+1}-2$: область определения $D(y)=[-1; +\infty)$; область значений $E(y)=[-2; +\infty)$; функция возрастающая; начальная точка графика $(-1, -2)$; пересечение с осью OY в точке $(0, -1)$, с осью OX в точке $(3, 0)$. График - ветвь параболы, выходящая из $(-1,-2)$ и направленная вправо и вверх.

6) $y = \sqrt{2x-1} + 1$

График этой функции можно получить из графика $y_0=\sqrt{x}$ преобразованиями: сжатие к оси OY в 2 раза ($y=\sqrt{2x}$), затем сдвиг на $1/2$ вправо по оси OX и на 1 вверх по оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: $2x-1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge 1/2$. $D(y) = [1/2; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{2x-1} \ge 0$, то $\sqrt{2x-1} + 1 \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.
• Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: Асимптот нет. График начинается в точке $(1/2, 1)$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $x=0$ не входит в область определения, пересечения с осью OY нет.
  • С осью OX (y=0): $\sqrt{2x-1} + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{2x-1} = -1$. Уравнение не имеет решений. Пересечений с осью OX нет. Это согласуется с областью значений $y \ge 1$.

Построение графика:

1. Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(1/2, 1)$.

2. Находим еще несколько точек для построения. При $x=1$: $y = \sqrt{2(1)-1} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$. При $x=5/2$: $y = \sqrt{2(5/2)-1} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3$. Точка $(2.5, 3)$.

3. Строим ветвь параболы, выходящую из точки $(1/2, 1)$ и проходящую через точки $(1, 2)$ и $(2.5, 3)$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\sqrt{2x-1}+1$: область определения $D(y)=[1/2; +\infty)$; область значений $E(y)=[1; +\infty)$; функция возрастающая; начальная точка графика $(1/2, 1)$; пересечений с осями координат нет. График - ветвь параболы, выходящая из $(1/2, 1)$ и направленная вправо и вверх.