Номер 1033, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1033, страница 346.

Условие.

1033. 1) $y = \sqrt{\log_{0,8} (x^2 - 5x + 7)};$

2) $y = \sqrt{\log_{0,5} (x^2 - 9)};$

3) $y = \sqrt{\log_{4} (1 + 6x) + \left|\log_{\frac{1}{8}} (1 + 7x)\right|};$

4) $y = \sqrt{\left|\log_{27} \left(1 + \frac{7}{2}x\right)\right| - \log_{\frac{1}{3}} (1 + 2x).}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sqrt{\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7)}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} \log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge 0 \\ x^2 - 5x + 7 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge 0$.

Представим 0 как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_{0.8}(1)$.

$\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge \log_{0.8}(1)$

Так как основание логарифма $0.8$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 7 \le 1$

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [2, 3]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 7 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), квадратный трехчлен принимает положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Область определения функции является пересечением решений этих двух неравенств:

$[2, 3] \cap (-\infty, +\infty) = [2, 3]$.

Ответ: $[2, 3]$.

2) $y = \sqrt{\log_{0.5}(x^2 - 9)}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} \log_{0.5}(x^2 - 9) \ge 0 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\log_{0.5}(x^2 - 9) \ge 0$.

$\log_{0.5}(x^2 - 9) \ge \log_{0.5}(1)$

Основание логарифма $0.5 \in (0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$x^2 - 9 \le 1$

$x^2 - 10 \le 0$

$(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \le 0$

Решение этого неравенства: $x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 9 > 0$.

$(x - 3)(x + 3) > 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств:

$[-\sqrt{10}, \sqrt{10}] \cap ((-\infty, -3) \cup (3, +\infty))$.

Так как $3 = \sqrt{9}$, то $3 < \sqrt{10}$. Пересечение интервалов дает:

$[-\sqrt{10}, -3) \cup (3, \sqrt{10}]$.

Ответ: $[-\sqrt{10}, -3) \cup (3, \sqrt{10}]$.

3) $y = \sqrt{\log_4(1+6x) + |\log_{1/8}(1+7x)|}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} 1 + 6x > 0 \\ 1 + 7x > 0 \\ \log_4(1+6x) + |\log_{1/8}(1+7x)| \ge 0 \end{cases} $

Из первых двух неравенств получаем:

$x > -1/6$ и $x > -1/7$.

Так как $-1/7 > -1/6$, то общее решение для аргументов логарифмов: $x > -1/7$.

Решим третье неравенство. Преобразуем логарифмы к основанию 2:

$\log_4(1+6x) = \log_{2^2}(1+6x) = \frac{1}{2}\log_2(1+6x)$

$\log_{1/8}(1+7x) = \log_{2^{-3}}(1+7x) = -\frac{1}{3}\log_2(1+7x)$

Неравенство принимает вид:

$\frac{1}{2}\log_2(1+6x) + |-\frac{1}{3}\log_2(1+7x)| \ge 0$

$\frac{1}{2}\log_2(1+6x) + \frac{1}{3}|\log_2(1+7x)| \ge 0$

Рассмотрим два случая.

Случай A: $\log_2(1+7x) \ge 0 \implies 1+7x \ge 1 \implies x \ge 0$.

В этом случае неравенство становится: $\frac{1}{2}\log_2(1+6x) + \frac{1}{3}\log_2(1+7x) \ge 0$.

При $x \ge 0$ оба слагаемых неотрицательны, так как $1+6x \ge 1$ и $1+7x \ge 1$. Сумма неотрицательных чисел неотрицательна. Значит, неравенство выполняется для всех $x \ge 0$.

Решение для случая A: $x \in [0, +\infty)$.

Случай B: $\log_2(1+7x) < 0 \implies 1+7x < 1 \implies x < 0$. С учетом ОДЗ $x > -1/7$, этот случай рассматривается на интервале $(-1/7, 0)$.

Неравенство становится: $\frac{1}{2}\log_2(1+6x) - \frac{1}{3}\log_2(1+7x) \ge 0$.

$3\log_2(1+6x) \ge 2\log_2(1+7x)$

$\log_2((1+6x)^3) \ge \log_2((1+7x)^2)$

Так как основание $2>1$, функция возрастающая: $(1+6x)^3 \ge (1+7x)^2$.

$1+18x+108x^2+216x^3 \ge 1+14x+49x^2$

$216x^3 + 59x^2 + 4x \ge 0$

$x(216x^2 + 59x + 4) \ge 0$

На интервале $(-1/7, 0)$ множитель $x$ отрицателен, поэтому неравенство эквивалентно $216x^2 + 59x + 4 \le 0$.

Найдем корни уравнения $216x^2 + 59x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 59^2 - 4 \cdot 216 \cdot 4 = 3481 - 3456 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-59-5}{432} = -\frac{64}{432} = -\frac{4}{27}$ и $x_2 = \frac{-59+5}{432} = -\frac{54}{432} = -\frac{1}{8}$.

Решение неравенства $216x^2 + 59x + 4 \le 0$ есть отрезок $[-4/27, -1/8]$.

Найдем пересечение этого решения с интервалом случая B, $(-1/7, 0)$. Сравним числа: $-4/27 \approx -0.148$, $-1/7 \approx -0.143$, $-1/8 = -0.125$. Таким образом, $-4/27 < -1/7 < -1/8$.

Пересечение $[-4/27, -1/8]$ и $(-1/7, 0)$ есть $(-1/7, -1/8]$.

Объединяя решения из случаев A и B, получаем область определения:

$(-1/7, -1/8] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $(-1/7, -1/8] \cup [0, +\infty)$.

4) $y = \sqrt{|\log_{27}(1+\frac{7}{2}x)| - \log_{1/3}(1+2x)}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} 1 + \frac{7}{2}x > 0 \\ 1 + 2x > 0 \\ |\log_{27}(1+\frac{7}{2}x)| - \log_{1/3}(1+2x) \ge 0 \end{cases} $

Из первых двух неравенств получаем:

$x > -2/7$ и $x > -1/2$.

Так как $-2/7 \approx -0.286$ и $-1/2 = -0.5$, то $-2/7 > -1/2$. Общее решение для аргументов логарифмов: $x > -2/7$.

Решим третье неравенство. Преобразуем логарифмы к основанию 3:

$\log_{27}(1+\frac{7}{2}x) = \log_{3^3}(1+\frac{7}{2}x) = \frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x)$

$\log_{1/3}(1+2x) = \log_{3^{-1}}(1+2x) = -\log_3(1+2x)$

Неравенство принимает вид:

$|\frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x)| - (-\log_3(1+2x)) \ge 0$

$\frac{1}{3}|\log_3(1+\frac{7}{2}x)| + \log_3(1+2x) \ge 0$

Рассмотрим два случая.

Случай A: $\log_3(1+\frac{7}{2}x) \ge 0 \implies 1+\frac{7}{2}x \ge 1 \implies x \ge 0$.

В этом случае неравенство становится: $\frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x) + \log_3(1+2x) \ge 0$.

При $x \ge 0$ оба слагаемых неотрицательны, так как $1+\frac{7}{2}x \ge 1$ и $1+2x \ge 1$. Сумма неотрицательных чисел неотрицательна. Неравенство выполняется для всех $x \ge 0$.

Решение для случая A: $x \in [0, +\infty)$.

Случай B: $\log_3(1+\frac{7}{2}x) < 0 \implies 1+\frac{7}{2}x < 1 \implies x < 0$. С учетом ОДЗ $x > -2/7$, этот случай рассматривается на интервале $(-2/7, 0)$.

Неравенство становится: $-\frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x) + \log_3(1+2x) \ge 0$.

$3\log_3(1+2x) \ge \log_3(1+\frac{7}{2}x)$

$\log_3((1+2x)^3) \ge \log_3(1+\frac{7}{2}x)$

Так как основание $3>1$, функция возрастающая: $(1+2x)^3 \ge 1+\frac{7}{2}x$.

$1+6x+12x^2+8x^3 \ge 1+\frac{7}{2}x$

$8x^3 + 12x^2 + \frac{5}{2}x \ge 0$

$x(16x^2 + 24x + 5) \ge 0$

На интервале $(-2/7, 0)$ множитель $x$ отрицателен, поэтому неравенство эквивалентно $16x^2 + 24x + 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $16x^2 + 24x + 5 = 0$. Дискриминант $D = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5 = 576 - 320 = 256 = 16^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-24-16}{32} = -\frac{40}{32} = -\frac{5}{4}$ и $x_2 = \frac{-24+16}{32} = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}$.

Решение неравенства $16x^2 + 24x + 5 \le 0$ есть отрезок $[-5/4, -1/4]$.

Найдем пересечение этого решения с интервалом случая B, $(-2/7, 0)$. Сравним числа: $-5/4 = -1.25$, $-2/7 \approx -0.286$, $-1/4 = -0.25$. Таким образом, $-5/4 < -2/7 < -1/4$.

Пересечение $[-5/4, -1/4]$ и $(-2/7, 0)$ есть $(-2/7, -1/4]$.

Объединяя решения из случаев A и B, получаем область определения:

$(-2/7, -1/4] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $(-2/7, -1/4] \cup [0, +\infty)$.