Номер 1039, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1039, страница 346.

Условие.

1039. Найти все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$y = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$

на отрезке $[0; 2]$ равно $-4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная функция $y(x) = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Наименьшее значение такой функции на отрезке $[0; 2]$ зависит от положения её вершины $x_v$ относительно этого отрезка.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a_{коэф}}$:

$x_v = -\frac{a+4}{2 \cdot 1} = -\frac{a+4}{2}$

Рассмотрим три возможных случая расположения вершины параболы.

Случай 1. Вершина параболы находится на отрезке $[0; 2]$

Это условие выполняется, когда $0 \le x_v \le 2$.

$0 \le -\frac{a+4}{2} \le 2$

Умножим все части неравенства на -2, меняя знаки неравенства на противоположные:

$0 \ge a+4 \ge -4$, что эквивалентно $-4 \le a+4 \le 0$.

Вычтем 4 из всех частей неравенства, чтобы найти диапазон для $a$:

$-8 \le a \le -4$.

В этом случае наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ достигается в вершине и равно $y(x_v)$. По условию задачи, это значение равно -4.

$y(x_v) = y\left(-\frac{a+4}{2}\right) = \left(-\frac{a+4}{2}\right)^2 + (a+4)\left(-\frac{a+4}{2}\right) + 2a + 3$

$y(x_v) = \frac{(a+4)^2}{4} - \frac{(a+4)^2}{2} + 2a + 3 = -\frac{(a+4)^2}{4} + 2a + 3$

$y(x_v) = -\frac{a^2+8a+16}{4} + \frac{4(2a+3)}{4} = \frac{-a^2-8a-16+8a+12}{4} = \frac{-a^2-4}{4}$

Приравняем полученное выражение к -4:

$\frac{-a^2-4}{4} = -4$

$-a^2-4 = -16$

$-a^2 = -12$

$a^2 = 12 \implies a = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные значения $a$ промежутку $[-8; -4]$.

Значение $a = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ не принадлежит отрезку $[-8; -4]$.

Значение $a = -2\sqrt{3} \approx -3.46$ также не принадлежит отрезку $[-8; -4]$, так как $-3.46 > -4$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2. Вершина параболы находится левее отрезка $[0; 2]$

Это условие выполняется, когда $x_v < 0$.

$-\frac{a+4}{2} < 0 \implies a+4 > 0 \implies a > -4$.

При таком расположении вершины функция $y(x)$ на отрезке $[0; 2]$ является возрастающей. Её наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, то есть в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 + (a+4) \cdot 0 + 2a+3 = 2a+3$.

Согласно условию, это значение равно -4:

$2a+3 = -4$

$2a = -7$

$a = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a$ условию $a > -4$.

$-3.5 > -4$. Условие выполняется.

Таким образом, $a = -3.5$ является решением.

Случай 3. Вершина параболы находится правее отрезка $[0; 2]$

Это условие выполняется, когда $x_v > 2$.

$-\frac{a+4}{2} > 2 \implies a+4 < -4 \implies a < -8$.

При таком расположении вершины функция $y(x)$ на отрезке $[0; 2]$ является убывающей. Её наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, то есть в точке $x=2$.

$y_{наим} = y(2) = 2^2 + (a+4) \cdot 2 + 2a+3 = 4 + 2a+8 + 2a+3 = 4a+15$.

Согласно условию, это значение равно -4:

$4a+15 = -4$

$4a = -19$

$a = -\frac{19}{4} = -4.75$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a$ условию $a < -8$.

$-4.75 < -8$. Это неравенство неверно.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединив результаты анализа всех трех случаев, мы получаем единственное значение параметра $a$, при котором наименьшее значение функции на заданном отрезке равно -4.

Ответ: $a = -3.5$.