Номер 1042, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1042, страница 347.

Условие.

1042. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \frac{2 \cos^4 x + \sin^2 x}{2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{2 \cos^4 x + \sin^2 x}{2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x}$ преобразуем данное выражение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Тогда $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2 = 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$.

Теперь подставим эти выражения в числитель и знаменатель исходной функции.

Преобразуем числитель:

$2 \cos^4 x + \sin^2 x = 2 \cos^4 x + (1 - \cos^2 x) = 2 \cos^4 x - \cos^2 x + 1$.

Преобразуем знаменатель:

$2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x = 2(1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x) + 3 \cos^2 x = 2 - 4\cos^2 x + 2\cos^4 x + 3 \cos^2 x = 2\cos^4 x - \cos^2 x + 2$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \frac{2 \cos^4 x - \cos^2 x + 1}{2\cos^4 x - \cos^2 x + 2}$.

Чтобы упростить дальнейший анализ, введем замену переменной. Пусть $t = \cos^2 x$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$ для любого $x$, то область значений для переменной $t$ — это отрезок $[0, 1]$.

После замены функция примет вид:

$f(t) = \frac{2t^2 - t + 1}{2t^2 - t + 2}$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $f(t)$ на отрезке $[0, 1]$. Для этого найдем производную функции $f(t)$ по переменной $t$.

Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(t) = 2t^2 - t + 1$ и $v(t) = 2t^2 - t + 2$. Тогда их производные равны $u'(t) = 4t - 1$ и $v'(t) = 4t - 1$.

$f'(t) = \frac{(4t - 1)(2t^2 - t + 2) - (2t^2 - t + 1)(4t - 1)}{(2t^2 - t + 2)^2}$

Вынесем общий множитель $(4t - 1)$ в числителе:

$f'(t) = \frac{(4t - 1)((2t^2 - t + 2) - (2t^2 - t + 1))}{(2t^2 - t + 2)^2} = \frac{(4t - 1)(1)}{(2t^2 - t + 2)^2} = \frac{4t - 1}{(2t^2 - t + 2)^2}$.

Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:

$f'(t) = 0 \implies 4t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{4}$.

Эта точка принадлежит отрезку $[0, 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах. В нашем случае это точки $t=0$, $t=1/4$ и $t=1$.

Вычислим значения функции в этих точках:

• При $t = 0$: $f(0) = \frac{2(0)^2 - 0 + 1}{2(0)^2 - 0 + 2} = \frac{1}{2}$.
• При $t = 1/4$: $f(1/4) = \frac{2(1/4)^2 - 1/4 + 1}{2(1/4)^2 - 1/4 + 2} = \frac{2/16 - 1/4 + 1}{2/16 - 1/4 + 2} = \frac{1/8 - 2/8 + 8/8}{1/8 - 2/8 + 16/8} = \frac{7/8}{15/8} = \frac{7}{15}$.
• При $t = 1$: $f(1) = \frac{2(1)^2 - 1 + 1}{2(1)^2 - 1 + 2} = \frac{2}{3}$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{15}$ и $\frac{2}{3}$.

Чтобы их сравнить, приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{2} = \frac{15}{30}$

$\frac{7}{15} = \frac{14}{30}$

$\frac{2}{3} = \frac{20}{30}$

Сравнивая числители, видим, что $\frac{14}{30} < \frac{15}{30} < \frac{20}{30}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $\frac{7}{15}$, а наибольшее — $\frac{2}{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = \frac{7}{15}$, наибольшее значение функции $y_{max} = \frac{2}{3}$.