Номер 1048, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1048, страница 347.

Условие.

1048. Прямая $y=4x+a$ является касательной к параболе $y=6-2x+x^2$. Найти $a$ и координаты точки касания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы прямая $y = 4x + a$ являлась касательной к параболе $y = x^2 - 2x + 6$, в точке касания $(x_0, y_0)$ должны выполняться два условия:
1. Координаты точки касания должны удовлетворять обоим уравнениям.
2. Угловой коэффициент касательной (наклон прямой) должен быть равен значению производной функции параболы в точке $x_0$.

Найдем производную функции, описывающей параболу: $f(x) = x^2 - 2x + 6$.
$f'(x) = (x^2 - 2x + 6)' = 2x - 2$.

Угловой коэффициент прямой $y = 4x + a$ равен 4.

Приравняем значение производной в точке касания $x_0$ к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу точки касания:
$f'(x_0) = 4$
$2x_0 - 2 = 4$
$2x_0 = 6$
$x_0 = 3$.

Зная абсциссу точки касания, найдем её ординату $y_0$, подставив $x_0 = 3$ в уравнение параболы:
$y_0 = x_0^2 - 2x_0 + 6 = 3^2 - 2 \cdot 3 + 6 = 9 - 6 + 6 = 9$.
Таким образом, координаты точки касания — $(3, 9)$.

Теперь, когда мы знаем точку касания, мы можем найти параметр $a$. Поскольку точка $(3, 9)$ лежит на прямой $y = 4x + a$, её координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим их:
$9 = 4 \cdot 3 + a$
$9 = 12 + a$
$a = 9 - 12$
$a = -3$.

Проверим решение другим способом. Условие касания прямой и параболы эквивалентно тому, что уравнение, полученное приравниванием их правых частей, имеет ровно один корень.
$x^2 - 2x + 6 = 4x + a$
$x^2 - 6x + (6 - a) = 0$
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - a) = 36 - 24 + 4a = 12 + 4a$.
$12 + 4a = 0 \Rightarrow 4a = -12 \Rightarrow a = -3$.
Результаты совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $a = -3$, координаты точки касания $(3, 9)$.