Номер 1052, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1052, страница 347.

Условие.

1052. Написать уравнение касательной к графику функции

$y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = xln2x, x_0 = 0,5;$

2) $f(x) = 2^{-x}, x_0 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x \ln(2x)$ и точка $x_0 = 0,5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(2 \cdot 0,5) = 0,5 \cdot \ln(1) = 0,5 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \ln(2x))' = (x)' \cdot \ln(2x) + x \cdot (\ln(2x))' = 1 \cdot \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln(2x) + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(0,5) = \ln(2 \cdot 0,5) + 1 = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0,5$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 0,5)$

$y = x - 0,5$

Ответ: $y = x - 0,5$.

2)

Используем то же общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = 2^{-x}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln(2) \cdot (-x)' = 2^{-x} \ln(2) \cdot (-1) = -2^{-x} \ln(2)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -2^{-1} \ln(2) = -\frac{1}{2} \ln(2) = -\frac{\ln(2)}{2}$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=\frac{1}{2}$ и $f'(x_0)=-\frac{\ln(2)}{2}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) \cdot (x - 1)$

$y = \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2}(x - 1)$

Это уравнение можно оставить в таком виде или привести к виду $y=kx+b$:

$y = \frac{1}{2} - \frac{x \ln(2)}{2} + \frac{\ln(2)}{2} = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2}(x - 1)$ (или $y = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1+\ln(2)}{2}$).