Номер 1052, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1052, страница 347.
№1052 (с. 347)
Условие. №1052 (с. 347)
скриншот условия

1052. Написать уравнение касательной к графику функции
$y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:
1) $f(x) = xln2x, x_0 = 0,5;$
2) $f(x) = 2^{-x}, x_0 = 1.$
Решение 1. №1052 (с. 347)


Решение 2. №1052 (с. 347)

Решение 3. №1052 (с. 347)
1)
Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Дана функция $f(x) = x \ln(2x)$ и точка $x_0 = 0,5$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(2 \cdot 0,5) = 0,5 \cdot \ln(1) = 0,5 \cdot 0 = 0$.
2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x \ln(2x))' = (x)' \cdot \ln(2x) + x \cdot (\ln(2x))' = 1 \cdot \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln(2x) + 1$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0,5) = \ln(2 \cdot 0,5) + 1 = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$.
4. Подставим найденные значения $x_0=0,5$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0,5)$
$y = x - 0,5$
Ответ: $y = x - 0,5$.
2)
Используем то же общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 2^{-x}$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:
$f'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln(2) \cdot (-x)' = 2^{-x} \ln(2) \cdot (-1) = -2^{-x} \ln(2)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = -2^{-1} \ln(2) = -\frac{1}{2} \ln(2) = -\frac{\ln(2)}{2}$.
4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=\frac{1}{2}$ и $f'(x_0)=-\frac{\ln(2)}{2}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) \cdot (x - 1)$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2}(x - 1)$
Это уравнение можно оставить в таком виде или привести к виду $y=kx+b$:
$y = \frac{1}{2} - \frac{x \ln(2)}{2} + \frac{\ln(2)}{2} = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$
Ответ: $y = \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2}(x - 1)$ (или $y = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1+\ln(2)}{2}$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1052 расположенного на странице 347 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1052 (с. 347), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.