Номер 1058, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1058, страница 348.

Условие.

1058. Найти тангенс угла между касательными, проведёнными к параболе $y = x^2$ из точки $(0; 9)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения тангенса угла между касательными, сначала необходимо найти угловые коэффициенты этих касательных.

Уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Производная функции $f'(x) = 2x$. Подставляя значения $f(x_0) = x_0^2$ и $f'(x_0) = 2x_0$, получаем уравнение касательной: $y = x_0^2 + 2x_0(x - x_0) = x_0^2 + 2x_0x - 2x_0^2$, что упрощается до $y = 2x_0x - x_0^2$.

По условию задачи, касательные проходят через точку с координатами $(0, -9)$. Подставим эти значения $x=0$ и $y=-9$ в уравнение касательной, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $-9 = 2x_0 \cdot 0 - x_0^2$ $-9 = -x_0^2$ $x_0^2 = 9$ Таким образом, существуют две точки касания с абсциссами $x_{0,1} = 3$ и $x_{0,2} = -3$.

Угловой коэффициент касательной, который равен тангенсу угла ее наклона к оси абсцисс, равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0) = 2x_0$. Найдем угловые коэффициенты для двух наших касательных: $k_1 = 2x_{0,1} = 2 \cdot 3 = 6$ $k_2 = 2x_{0,2} = 2 \cdot (-3) = -6$

Тангенс угла $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле: $\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Подставляем найденные значения $k_1 = 6$ и $k_2 = -6$: $\tan(\alpha) = \left| \frac{-6 - 6}{1 + 6 \cdot (-6)} \right| = \left| \frac{-12}{1 - 36} \right| = \left| \frac{-12}{-35} \right| = \frac{12}{35}$

Ответ: $\frac{12}{35}$