Страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1055. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y=\frac{2}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$ в точке с абсциссой $x=\frac{\pi}{3}$.

Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$, определяется тангенсом угла наклона. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания:

$\tan(\alpha) = k = f'(x_0)$

где $k$ — угловой коэффициент касательной.

Заданная функция: $y = \frac{2}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Точка касания имеет абсциссу $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Нахождение производной функции

Для нахождения производной $y'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом):

$y'(x) = \left(\frac{2}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right)'$

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)'$

Производная внутреннего аргумента $(3x - \frac{\pi}{6})$ равна 3. Подставляем это значение:

$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot 3 = -2\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$

2. Вычисление значения производной в точке $x_0$

Теперь найдем угловой коэффициент касательной, вычислив значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right)$

Упростим выражение под знаком синуса:

$k = -2\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$, получаем:

$k = -2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, находим значение коэффициента:

$k = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$

3. Нахождение угла

Мы нашли, что тангенс угла наклона касательной равен -1:

$\tan(\alpha) = -1$

Углом наклона прямой к оси $Ox$ принято считать угол $\alpha$, принадлежащий интервалу $[0, \pi)$. Решением уравнения $\tan(\alpha) = -1$ на этом интервале является:

$\alpha = \frac{3\pi}{4}$

Этот угол в градусной мере составляет $135^\circ$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$ (или $135^\circ$).

1056. Записать уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x^3+1}{3}$ в точке его пересечения с осью $Ox$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точку касания

Точка касания — это точка пересечения графика функции $f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$ с осью Ox. В этой точке значение функции равно нулю, т.е. $f(x) = 0$.

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{x^3 + 1}{3} = 0$

Умножим обе части на 3:

$x^3 + 1 = 0$

$x^3 = -1$

$x_0 = \sqrt[3]{-1} = -1$

Теперь найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = -1$ в исходную функцию:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{-1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$

Итак, точка касания имеет координаты $(-1, 0)$.

2. Найти производную функции

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}$.

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + (\frac{1}{3})' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 0 = x^2$

3. Вычислить значение производной в точке касания

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Подставим $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(x_0) = f'(-1) = (-1)^2 = 1$

4. Составить уравнение касательной

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для уравнения касательной: $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 1$. Подставим их в общую формулу:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-1))$

$y = 1 \cdot (x + 1)$

$y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$

1057. Записать уравнение касательной к графику функции

$f(x)=\sqrt{x^3+1}$

в точке с абсциссой $x=4$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче нам дана функция $f(x) = \sqrt{x^3} + 1$ и абсцисса точки касания $x_0 = 4$.

Для нахождения уравнения касательной необходимо выполнить несколько шагов.

Нахождение значения функции в точке касания

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 4$, то есть $f(4)$.

$f(4) = \sqrt{4^3} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(4; 9)$.

Нахождение производной функции

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим функцию в виде $f(x) = x^{3/2} + 1$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^{3/2} + 1)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} + 0 = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Нахождение значения производной в точке касания

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Вычислим $f'(4)$:

$f'(4) = \frac{3\sqrt{4}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.

Составление уравнения касательной

Теперь у нас есть все необходимые данные: $x_0 = 4$, $f(x_0) = 9$ и $f'(x_0) = 3$. Подставим эти значения в общую формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 9 + 3(x - 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить окончательный вид уравнения:

$y = 9 + 3x - 12$

$y = 3x - 3$

Ответ: $y = 3x - 3$.

1058. Найти тангенс угла между касательными, проведёнными к параболе $y = x^2$ из точки $(0; 9)$.

Для нахождения тангенса угла между касательными, сначала необходимо найти угловые коэффициенты этих касательных.

Уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Производная функции $f'(x) = 2x$. Подставляя значения $f(x_0) = x_0^2$ и $f'(x_0) = 2x_0$, получаем уравнение касательной: $y = x_0^2 + 2x_0(x - x_0) = x_0^2 + 2x_0x - 2x_0^2$, что упрощается до $y = 2x_0x - x_0^2$.

По условию задачи, касательные проходят через точку с координатами $(0, -9)$. Подставим эти значения $x=0$ и $y=-9$ в уравнение касательной, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$: $-9 = 2x_0 \cdot 0 - x_0^2$ $-9 = -x_0^2$ $x_0^2 = 9$ Таким образом, существуют две точки касания с абсциссами $x_{0,1} = 3$ и $x_{0,2} = -3$.

Угловой коэффициент касательной, который равен тангенсу угла ее наклона к оси абсцисс, равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0) = 2x_0$. Найдем угловые коэффициенты для двух наших касательных: $k_1 = 2x_{0,1} = 2 \cdot 3 = 6$ $k_2 = 2x_{0,2} = 2 \cdot (-3) = -6$

Тангенс угла $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле: $\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Подставляем найденные значения $k_1 = 6$ и $k_2 = -6$: $\tan(\alpha) = \left| \frac{-6 - 6}{1 + 6 \cdot (-6)} \right| = \left| \frac{-12}{1 - 36} \right| = \left| \frac{-12}{-35} \right| = \frac{12}{35}$

Ответ: $\frac{12}{35}$

1059. Найти промежутки монотонности функции:

1) $y = \frac{x^2+1}{x^2-1}$;$

2) $y = \frac{x^2-1}{x}$.$

1) Для функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Далее, найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$.

Критическая точка $x=0$ и точки разрыва $x=-1$ и $x=1$ разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов. Знак $y'$ зависит только от знака числителя $-4x$, так как знаменатель $(x^2 - 1)^2$ всегда положителен в области определения.

• На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$ имеем $x < 0$, поэтому $-4x > 0$, и $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на этих интервалах.
• На интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$ имеем $x > 0$, поэтому $-4x < 0$, и $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на этих интервалах.

Так как функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0]$; убывает на промежутках $[0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$.

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, т.е. $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции. Удобно представить функцию в виде $y = x - \frac{1}{x}$.

$y' = (x - \frac{1}{x})' = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.

Также можно использовать правило частного:

$y' = \left(\frac{x^2-1}{x}\right)' = \frac{(x^2-1)'x - (x^2-1)x'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2-1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2+1}{x^2}$.

Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{x^2+1}{x^2} = 0$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как числитель $x^2 + 1$ всегда больше или равен 1. Следовательно, стационарных точек нет.

Проанализируем знак производной $y' = \frac{x^2+1}{x^2}$ на области определения. И числитель ($x^2 + 1$), и знаменатель ($x^2$) всегда положительны для любого $x \neq 0$. Значит, $y' > 0$ на всей области определения.

Поскольку производная всегда положительна, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Найти точки экстремума функции (1060–1061).

1060.

1) $y=(x-1)^3 (x-2)^2$;

2) $y=4+(6-x)^4$.

1) $y = (x-1)^3(x-2)^2$

Для нахождения точек экстремума функции найдем ее производную и приравняем ее к нулю. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x-1)^3)'(x-2)^2 + (x-1)^3((x-2)^2)'$

$y' = 3(x-1)^2 \cdot (x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2)$

Для упрощения вынесем общий множитель $(x-1)^2(x-2)$ за скобки:

$y' = (x-1)^2(x-2)[3(x-2) + 2(x-1)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$3(x-2) + 2(x-1) = 3x - 6 + 2x - 2 = 5x - 8$

Таким образом, производная функции имеет вид:

$y' = (x-1)^2(x-2)(5x-8)$

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$(x-1)^2(x-2)(5x-8) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{8}{5} = 1.6$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось. Знак производной $y'$ зависит от знака произведения $(x-2)(5x-8)$, так как множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака (за исключением точки $x=1$, где он обнуляет производную).

- На интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; 1.6)$ производная $y' > 0$, так как множители $(x-2)$ и $(5x-8)$ оба отрицательны. Значит, функция возрастает. В точке $x=1$ производная не меняет знак, поэтому $x=1$ не является точкой экстремума.

- На интервале $(1.6; 2)$ производная $y' < 0$, так как $(x-2) < 0$, а $(5x-8) > 0$. Значит, функция убывает. При переходе через точку $x=1.6$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, $x=1.6$ — точка максимума.

- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$, так как множители $(x-2)$ и $(5x-8)$ оба положительны. Значит, функция возрастает. При переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=2$ — точка минимума.

Ответ: $x_{max} = 1.6$, $x_{min} = 2$.

2) $y = 4 + (6-x)^4$

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Анализ свойств функции

Рассмотрим выражение $(6-x)^4$. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, это выражение всегда неотрицательно: $(6-x)^4 \ge 0$ для любого действительного значения $x$.

Наименьшее значение выражения $(6-x)^4$ равно 0. Оно достигается при условии, что $6-x=0$, то есть при $x=6$.

Следовательно, наименьшее значение всей функции $y$ равно $y_{min} = 4 + 0 = 4$. Это значение достигается в точке $x=6$, которая и является точкой минимума. Точек максимума у функции нет, так как она неограниченно возрастает при $x \to \pm\infty$.

Способ 2: Использование производной

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = (4 + (6-x)^4)' = 0 + 4(6-x)^3 \cdot (6-x)' = 4(6-x)^3 \cdot (-1) = -4(6-x)^3$

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$-4(6-x)^3 = 0 \Rightarrow 6-x = 0 \Rightarrow x=6$.

Исследуем знак производной в окрестности точки $x=6$:

- Если $x < 6$, то $6-x > 0$, и $y' = -4(6-x)^3 < 0$. На этом интервале функция убывает.

- Если $x > 6$, то $6-x < 0$, и $y' = -4(6-x)^3 > 0$. На этом интервале функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=6$ знак производной меняется с «-» на «+», $x=6$ является точкой минимума. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x_{min} = 6$.

1061. 1) $y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1}$;

2) $y = \frac{x^2 + 6x + 3}{3x + 4}$.

1) Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1}$, мы определим, при каких значениях параметра $y$ уравнение имеет хотя бы одно действительное решение относительно $x$.

Сначала исследуем знаменатель дроби $x^2 + x + 1$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент (равный 1) положителен, знаменатель $x^2 + x + 1$ всегда больше нуля при любом действительном значении $x$. Это означает, что область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Теперь преобразуем исходное равенство. Умножим обе части на знаменатель:

$y(x^2 + x + 1) = 3x^2 + 4x + 4$

$yx^2 + yx + y = 3x^2 + 4x + 4$

Сгруппируем все члены в левой части, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$(y - 3)x^2 + (y - 4)x + (y - 4) = 0$

Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда оно разрешимо. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $y - 3 \neq 0 \implies y \neq 3$.В этом случае уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D_x$ неотрицателен ($D_x \ge 0$).

$D_x = (y - 4)^2 - 4(y - 3)(y - 4)$

Вынесем общий множитель $(y - 4)$ за скобки:

$D_x = (y - 4)((y - 4) - 4(y - 3)) = (y - 4)(y - 4 - 4y + 12) = (y - 4)(-3y + 8)$

Теперь решим неравенство $D_x \ge 0$:

$(y - 4)(-3y + 8) \ge 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(y - 4)(3y - 8) \le 0$

Корнями выражения в левой части являются $y_1 = 4$ и $y_2 = 8/3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $y \in [8/3, 4]$.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $y - 3 = 0 \implies y = 3$.Подставим это значение в уравнение $(y - 3)x^2 + (y - 4)x + (y - 4) = 0$:

$(3 - 3)x^2 + (3 - 4)x + (3 - 4) = 0$

$0 \cdot x^2 - x - 1 = 0$

$-x = 1 \implies x = -1$

Поскольку при $y=3$ существует действительное решение $x=-1$, значение $y=3$ входит в множество значений функции. Это значение также содержится в отрезке $[8/3, 4]$, найденном в первом случае.

Объединяя результаты, мы заключаем, что множество значений функции есть отрезок $[8/3, 4]$.

Ответ: $E(y) = [8/3, 4]$.

2) Найдем множество значений функции $y = \frac{x^2 + 6x + 3}{3x + 4}$.

Область определения функции задается условием $3x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4/3$.

Рассмотрим уравнение как уравнение относительно $x$ при заданном параметре $y$. Предполагая, что $x \neq -4/3$, умножим обе части на знаменатель:

$y(3x + 4) = x^2 + 6x + 3$

$3yx + 4y = x^2 + 6x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $x$:

$x^2 + (6 - 3y)x + (3 - 4y) = 0$

Это уравнение является квадратным при любом значении $y$, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).Уравнение имеет действительные решения для $x$, если его дискриминант $D_x$ неотрицателен ($D_x \ge 0$).

$D_x = (6 - 3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - 4y) = (36 - 36y + 9y^2) - (12 - 16y) = 9y^2 - 20y + 24$

Теперь решим неравенство $9y^2 - 20y + 24 \ge 0$.Для этого проанализируем квадратный трехчлен $f(y) = 9y^2 - 20y + 24$. Его график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как $9 > 0$). Найдем дискриминант этого трехчлена, $D_y$:

$D_y = (-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 24 = 400 - 864 = -464$

Поскольку $D_y < 0$ и ветви параболы направлены вверх, трехчлен $9y^2 - 20y + 24$ принимает только положительные значения при всех действительных $y$.Таким образом, неравенство $D_x = 9y^2 - 20y + 24 \ge 0$ выполняется для любого $y \in \mathbb{R}$.

Это означает, что для любого действительного $y$ квадратное уравнение $x^2 + (6 - 3y)x + (3 - 4y) = 0$ имеет действительные корни. Нам осталось проверить, не совпадает ли один из этих корней со значением $x = -4/3$, которое не входит в область определения исходной функции.Предположим, что при некотором $y$ корень уравнения равен $x = -4/3$. Подставим это значение в уравнение:

$(-4/3)^2 + (6 - 3y)(-4/3) + (3 - 4y) = 0$

$16/9 - 24/3 + 4y + 3 - 4y = 0$

$16/9 - 8 + 3 = 0$

$16/9 - 5 = 0$

$16 = 45$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что $x=-4/3$ не является корнем уравнения ни при каком значении $y$.Следовательно, для любого $y \in \mathbb{R}$ существует хотя бы одно значение $x$ (причем $x \neq -4/3$), удовлетворяющее исходному равенству.Значит, множество значений функции — все действительные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

(1062–1064).

1062. 1) $y = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$;

2) $y = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке следующий:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует), принадлежащие данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.
4. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции $y(x)$:
$y' = (2\sin x + \sin 2x)' = 2\cos x + (\cos 2x) \cdot 2 = 2\cos x + 2\cos 2x$.

2. Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю:
$2\cos x + 2\cos 2x = 0$
$\cos x + \cos 2x = 0$
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
$\cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0$
$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Находим корни по формуле для корней квадратного уравнения:
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$
$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:
а) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те корни, которые принадлежат отрезку $[0; \frac{3\pi}{2}]$:
Из серии $x = \pi + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $x = \pi$. Этот корень принадлежит отрезку.
Из серии $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$. Отрезку принадлежит только $x = \frac{\pi}{3}$.
Итак, критические точки на данном отрезке: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi$.

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{3\pi}{2}$.
$y(0) = 2\sin(0) + \sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
$y(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$y(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 2 \cdot 0 + 0 = 0$.
$y(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) + \sin(3\pi) = -2 + 0 = -2$.

4. Сравниваем полученные значения: $\{0; \frac{3\sqrt{3}}{2}; 0; -2\}$.
Наибольшее значение: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение: $-2$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб.} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $y_{наим.} = -2$.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Будем действовать по тому же алгоритму.

1. Находим производную функции $y(x)$:
$y' = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - (\sin 2x) \cdot 2 = 2\cos x - 2\sin 2x$.

2. Находим критические точки:
$2\cos x - 2\sin 2x = 0$
$\cos x - \sin 2x = 0$
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$\cos x - 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (1 - 2\sin x) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
а) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$:
Из серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень является правым концом отрезка.
Из серии $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.
Таким образом, единственная критическая точка внутри отрезка - это $x = \frac{\pi}{6}$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.
$y(0) = 2\sin(0) + \cos(2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.
$y(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 + (-1) = 1$.

4. Сравниваем полученные значения: $\{1; \frac{3}{2}; 1\}$.
Наибольшее значение: $\frac{3}{2}$.
Наименьшее значение: $1$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб.} = \frac{3}{2}$, наименьшее значение $y_{наим.} = 1$.

1063. 1) $y=\sqrt{x+5}$ на отрезке $[-1; 4]$;

2) $y=\sin x+2\sqrt{2}\cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

1) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{x+5}$ на отрезке $[-1; 4]$.

Для нахождения экстремумов функции на отрезке используется следующий алгоритм:

1. Находим область определения функции.
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, что означает $x \ge -5$. Весь заданный отрезок $[-1; 4]$ входит в область определения функции.
2. Находим производную функции:
   $y' = (\sqrt{x+5})' = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$.
3. Находим критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
   • $y' = 0$: Уравнение $\frac{1}{2\sqrt{x+5}} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 1.
   • Производная не существует, если знаменатель равен нулю: $2\sqrt{x+5} = 0$, откуда $x = -5$.
   Критическая точка $x=-5$ не принадлежит отрезку $[-1; 4]$. Следовательно, внутри отрезка критических точек нет.
4. Поскольку на всем отрезке $[-1; 4]$ производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$ положительна ($y' > 0$), функция является строго возрастающей на этом отрезке.
5. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции в этих точках:
   • Значение на левом конце: $y(-1) = \sqrt{-1+5} = \sqrt{4} = 2$.
   • Значение на правом конце: $y(4) = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно 2, а наибольшее — 3.

Ответ: наименьшее значение функции равно 2, наибольшее значение равно 3.

2) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin x + 2\sqrt{2}\cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Действуем по стандартному алгоритму.

1. Находим производную функции:
   $y' = (\sin x + 2\sqrt{2}\cos x)' = \cos x - 2\sqrt{2}\sin x$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
   $\cos x - 2\sqrt{2}\sin x = 0$
   $\cos x = 2\sqrt{2}\sin x$
   На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, $\cos x = 0$ только при $x=\frac{\pi}{2}$. В этой точке $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, и равенство $0 = 2\sqrt{2}\cdot 1$ неверно. Значит, можно разделить обе части на $\cos x$:
   $1 = 2\sqrt{2}\frac{\sin x}{\cos x}$
   $\tan x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
   Так как $\frac{1}{2\sqrt{2}} > 0$, существует единственная точка $x_0 = \arctan(\frac{1}{2\sqrt{2}})$ в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, которая является критической. Эта точка принадлежит заданному отрезку.
3. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка.
   • На левом конце отрезка, при $x=0$:
     $y(0) = \sin(0) + 2\sqrt{2}\cos(0) = 0 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$.
   • На правом конце отрезка, при $x=\frac{\pi}{2}$:
     $y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 2\sqrt{2} \cdot 0 = 1$.
   • В критической точке $x_0$, где $\tan x_0 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$. Чтобы найти значение функции, найдем $\sin x_0$ и $\cos x_0$. Из тождества $1 + \tan^2 x_0 = \frac{1}{\cos^2 x_0}$ имеем:
     $\frac{1}{\cos^2 x_0} = 1 + (\frac{1}{2\sqrt{2}})^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.
     Отсюда $\cos^2 x_0 = \frac{8}{9}$. Так как $x_0 \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $\cos x_0 > 0$, и $\cos x_0 = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
     Тогда $\sin x_0 = \sqrt{1 - \cos^2 x_0} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
     Подставляем найденные значения в функцию:
     $y(x_0) = \sin x_0 + 2\sqrt{2}\cos x_0 = \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
4. Сравниваем полученные значения: $2\sqrt{2}$, $1$ и $3$.
   Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, а $3 = \sqrt{9}$, то $2\sqrt{2} < 3$. Очевидно, $1 < 2\sqrt{2}$.
   Получаем sıralama: $1 < 2\sqrt{2} < 3$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно 3.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 3.

1064. 1) $y = \ln x - x$ на отрезке $[0{,}5; 4];$

2) $y = x \sqrt{1 - x^2}$ на отрезке $[0; 1].$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=\ln x - x$ на отрезке $[0,5; 4]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.
Область определения функции $y=\ln x - x$ — это $x > 0$. Заданный отрезок $[0,5; 4]$ полностью входит в область определения.
1. Найдем производную функции:$y' = (\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'=0$:$\frac{1}{x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$.
3. Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0,5; 4]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=0,5$ и $x=4$:$y(1) = \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1$.
$y(0,5) = \ln(0,5) - 0,5 = -\ln 2 - 0,5$.
$y(4) = \ln(4) - 4 = 2\ln 2 - 4$.
5. Сравним полученные значения. Используя приближенное значение $\ln 2 \approx 0,693$, получим:$y(1) = -1$.
$y(0,5) \approx -0,693 - 0,5 = -1,193$.
$y(4) \approx 2 \cdot 0,693 - 4 = 1,386 - 4 = -2,614$.
Сравнивая числа $-1$, $-1,193$ и $-2,614$, видим, что наибольшее значение равно $-1$, а наименьшее равно $2\ln 2 - 4 = \ln 4 - 4$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $y_{наиб} = -1$, наименьшее значение $y_{наим} = \ln 4 - 4$.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=x\sqrt{1-x^2}$ на отрезке $[0; 1]$, применим тот же алгоритм.
Область определения функции задается неравенством $1-x^2 \ge 0$, то есть $-1 \le x \le 1$. Заданный отрезок $[0; 1]$ входит в область определения.
1. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:$y' = (x\sqrt{1-x^2})' = (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})' = 1 \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
Приведем к общему знаменателю:$y' = \frac{(\sqrt{1-x^2})^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
2. Найдем критические точки.Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: $1-2x^2=0 \implies 2x^2=1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Производная не определена, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt{1-x^2}=0 \implies 1-x^2=0 \implies x = \pm 1$.
3. Из всех найденных точек ($-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, -1, 1$) выберем те, что принадлежат отрезку $[0; 1]$. Это точки $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x=1$.
4. Вычислим значения функции в этих точках и на другом конце отрезка, в точке $x=0$:$y(0) = 0 \cdot \sqrt{1-0^2} = 0$.
$y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
$y(1) = 1 \cdot \sqrt{1-1^2} = 1 \cdot 0 = 0$.
5. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{1}{2}$ и $0$. Наибольшее из них равно $\frac{1}{2}$, а наименьшее равно $0$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $y_{наиб} = \frac{1}{2}$, наименьшее значение $y_{наим} = 0$.

1065. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 - 3\sin x + 4\cos x$ на отрезке $\left[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2 - 3\sin x + 4\cos x$ на отрезке $[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку, и на концах этого отрезка, а затем сравнить полученные значения.

Первым шагом найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (2 - 3\sin x + 4\cos x)' = -3\cos x - 4\sin x$.

Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-3\cos x - 4\sin x = 0$

$4\sin x = -3\cos x$

Поскольку $\cos x = 0$ не является решением уравнения (в этом случае $\sin x = \pm 1$ и равенство $4(\pm 1) = 0$ неверно), разделим обе части на $\cos x$:

$\tan x = -\frac{3}{4}$.

Решения этого уравнения имеют вид $x = \arctan(-\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n$ — целое число.

Теперь определим, какие из этих критических точек принадлежат отрезку $[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$. Обозначим $\alpha = \arctan(-\frac{3}{4})$. Учитывая, что $-\frac{4\pi}{3} \approx -4.189$, $\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$ и $\alpha \approx -0.6435$, проверим значения для разных целых $n$:

• При $n=0$, $x_0 = \alpha \approx -0.6435$. Это значение находится внутри отрезка $[-\frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$.
• При $n=-1$, $x_{-1} = \alpha - \pi \approx -0.6435 - 3.1416 = -3.7851$. Это значение также находится внутри отрезка, так как $-4.189 < -3.7851 < 2.094$.
• При $n=1$, $x_1 = \alpha + \pi \approx 2.4981$. Это значение больше $\frac{2\pi}{3}$ и не входит в отрезок.
• При $n=-2$, $x_{-2} = \alpha - 2\pi$ очевидно меньше $-\frac{4\pi}{3}$ и не входит в отрезок.

Итак, на заданном отрезке лежат две критические точки: $x_0 = \arctan(-\frac{3}{4})$ и $x_{-1} = \arctan(-\frac{3}{4}) - \pi$.

Для вычисления значений функции в этих точках и для общей оценки диапазона значений функции удобно преобразовать ее часть с синусом и косинусом с помощью введения вспомогательного угла. Выражение $4\cos x - 3\sin x$ можно представить в виде $R\cos(x-\phi)$, где $R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = 5$, $\cos\phi = 4/5$, $\sin\phi = -3/5$. Отсюда $\phi = \arctan(-3/4)$, то есть $\phi$ совпадает с нашим $\alpha$.

Таким образом, исходную функцию можно записать в виде:

$y(x) = 2 + 5\cos(x - \alpha)$, где $\alpha = \arctan(-3/4)$.

Вычислим значения функции в найденных критических точках:

$y(x_0) = y(\alpha) = 2 + 5\cos(\alpha - \alpha) = 2 + 5\cos(0) = 2 + 5 \cdot 1 = 7$.

$y(x_{-1}) = y(\alpha - \pi) = 2 + 5\cos((\alpha - \pi) - \alpha) = 2 + 5\cos(-\pi) = 2 + 5 \cdot (-1) = -3$.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{2\pi}{3}$: $y(\frac{2\pi}{3}) = 2 - 3\sin(\frac{2\pi}{3}) + 4\cos(\frac{2\pi}{3}) = 2 - 3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{2}) = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

При $x = -\frac{4\pi}{3}$: $y(-\frac{4\pi}{3}) = 2 - 3\sin(-\frac{4\pi}{3}) + 4\cos(-\frac{4\pi}{3}) = 2 - 3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{2}) = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Осталось сравнить все полученные значения: $7$, $-3$ и $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Приблизительное значение $-\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -\frac{3 \cdot 1.732}{2} \approx -2.598$.

Сравнивая числа $7$, $-3$ и $-2.598$, получаем, что наибольшее значение равно $7$, а наименьшее равно $-3$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $y_{max} = 7$, наименьшее значение функции $y_{min} = -3$.

1066. При каком значении $a$ наибольшее значение функции $y=x^3-3x+a$ на отрезке $[-2; 0]$ равно 5?

Для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках, которые принадлежат этому отрезку, и на концах отрезка. Затем следует сравнить полученные значения и выбрать из них самое большое.

Заданная функция: $y = x^3 - 3x + a$.
Заданный отрезок: $[-2; 0]$.

1. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (x^3 - 3x + a)' = 3x^2 - 3$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю ($y' = 0$):

$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Определим, какие из найденных критических точек лежат в пределах отрезка $[-2; 0]$.

Точка $x = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 0]$.
Точка $x = 1$ не принадлежит отрезку $[-2; 0]$.

4. Теперь вычислим значения функции в единственной подходящей критической точке $x = -1$ и на концах отрезка, то есть в точках $x = -2$ и $x = 0$.

При $x = -2$:
$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + a = -8 + 6 + a = a - 2$.

При $x = -1$:
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + a = -1 + 3 + a = a + 2$.

При $x = 0$:
$y(0) = 0^3 - 3(0) + a = 0 - 0 + a = a$.

5. Сравним полученные значения: $a - 2$, $a + 2$ и $a$.
Наибольшим из этих трех значений является $a + 2$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 0]$ равно $y_{наиб.} = a + 2$.

6. По условию задачи, наибольшее значение функции равно 5. Составим и решим уравнение:

$a + 2 = 5$
$a = 5 - 2$
$a = 3$

Таким образом, при $a = 3$ наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x + a$ на отрезке $[-2; 0]$ равно 5.

Ответ: $a=3$.

1067. При каких значениях $a$ функция $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ имеет единственную стационарную точку?

Стационарные точки функции — это точки, в которых ее производная равна нулю. Для того чтобы найти эти точки, сначала необходимо вычислить производную заданной функции $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ по переменной $x$.

Производная функции $y'(x)$ будет равна:

$y' = (x^3)' - (3ax^2)' + (27x)' - (5)' = 3x^2 - 3a \cdot 2x + 27 - 0 = 3x^2 - 6ax + 27$.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$3x^2 - 6ax + 27 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы упростить его, разделим все члены уравнения на 3:

$x^2 - 2ax + 9 = 0$.

Согласно условию задачи, функция должна иметь ровно одну стационарную точку. Это означает, что полученное квадратное уравнение должно иметь ровно один действительный корень. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Дискриминант для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-2a$, $C=9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36$.

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:

$4a^2 - 36 = 0$

$4a^2 = 36$

$a^2 = \frac{36}{4}$

$a^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что $a$ может принимать два значения:

$a_1 = 3$ и $a_2 = -3$.

Именно при этих значениях параметра $a$ дискриминант обращается в ноль, и, следовательно, функция имеет единственную стационарную точку.

Ответ: $a = 3$ или $a = -3$.

1068. Найти эстремумы функции:

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$;

2) $f(x) = x^4 - 2x^5 + 5$.

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной на интервалах, образованных этими точками.

1. Найдём область определения функции. Так как функция является многочленом, её область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 4)' = 3x^2 + 6x - 9$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 6x - 9 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить, например, разложением на множители:
$(x+3)(x-1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -3)$ выберем пробную точку, например $x = -4$.
$f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3 \cdot 16 - 24 - 9 = 48 - 33 = 15 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.
- На интервале $(-3; 1)$ выберем пробную точку, например $x = 0$.
$f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 2$.
$f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3 \cdot 4 + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

5. Определим характер точек экстремума.
В точке $x = -3$ производная меняет свой знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.
В точке $x = 1$ производная меняет свой знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

6. Вычислим значения функции в точках экстремума.
Значение в точке максимума: $y_{max} = f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 4 = -27 + 3 \cdot 9 + 27 + 4 = 31$.
Значение в точке минимума: $y_{min} = f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 4 = 1 + 3 - 9 + 4 = -1$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, максимальное значение функции $f(-3) = 31$; точка минимума $x_{min} = 1$, минимальное значение функции $f(1) = -1$.

2) $f(x) = x^4 - 2x^5 + 5$

Применим тот же алгоритм для второй функции.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4 - 2x^5 + 5)' = 4x^3 - 10x^4$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 10x^4 = 0$
Вынесем общий множитель $2x^3$ за скобки:
$2x^3(2 - 5x) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{5}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{2}{5})$ и $(\frac{2}{5}; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ выберем пробную точку $x = -1$.
$f'(-1) = 4(-1)^3 - 10(-1)^4 = -4 - 10 = -14 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0; \frac{2}{5})$ выберем пробную точку $x = 0.1$.
$f'(0.1) = 4(0.1)^3 - 10(0.1)^4 = 4 \cdot 0.001 - 10 \cdot 0.0001 = 0.004 - 0.001 = 0.003 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(\frac{2}{5}; +\infty)$ выберем пробную точку $x = 1$.
$f'(1) = 4(1)^3 - 10(1)^4 = 4 - 10 = -6 < 0$. Функция убывает.

5. Определим характер точек экстремума.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка локального минимума.
В точке $x = \frac{2}{5}$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка локального максимума.

6. Вычислим значения функции в точках экстремума.
Значение в точке минимума: $y_{min} = f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^5 + 5 = 5$.
Значение в точке максимума: $y_{max} = f(\frac{2}{5}) = (\frac{2}{5})^4 - 2(\frac{2}{5})^5 + 5 = \frac{16}{625} - 2 \cdot \frac{32}{3125} + 5 = \frac{16 \cdot 5}{3125} - \frac{64}{3125} + 5 = \frac{80 - 64}{3125} + 5 = \frac{16}{3125} + 5 = 5\frac{16}{3125}$.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$, минимальное значение функции $f(0) = 5$; точка максимума $x_{max} = \frac{2}{5}$, максимальное значение функции $f(\frac{2}{5}) = 5\frac{16}{3125}$.