Номер 1067, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1067, страница 348.
№1067 (с. 348)
Условие. №1067 (с. 348)
скриншот условия

1067. При каких значениях $a$ функция $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ имеет единственную стационарную точку?
Решение 1. №1067 (с. 348)

Решение 2. №1067 (с. 348)

Решение 3. №1067 (с. 348)
Стационарные точки функции — это точки, в которых ее производная равна нулю. Для того чтобы найти эти точки, сначала необходимо вычислить производную заданной функции $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ по переменной $x$.
Производная функции $y'(x)$ будет равна:
$y' = (x^3)' - (3ax^2)' + (27x)' - (5)' = 3x^2 - 3a \cdot 2x + 27 - 0 = 3x^2 - 6ax + 27$.
Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$3x^2 - 6ax + 27 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы упростить его, разделим все члены уравнения на 3:
$x^2 - 2ax + 9 = 0$.
Согласно условию задачи, функция должна иметь ровно одну стационарную точку. Это означает, что полученное квадратное уравнение должно иметь ровно один действительный корень. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.
Дискриминант для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-2a$, $C=9$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36$.
Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:
$4a^2 - 36 = 0$
$4a^2 = 36$
$a^2 = \frac{36}{4}$
$a^2 = 9$
Из этого уравнения следует, что $a$ может принимать два значения:
$a_1 = 3$ и $a_2 = -3$.
Именно при этих значениях параметра $a$ дискриминант обращается в ноль, и, следовательно, функция имеет единственную стационарную точку.
Ответ: $a = 3$ или $a = -3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1067 расположенного на странице 348 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1067 (с. 348), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.