Номер 1067, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1067, страница 348.

Условие.

1067. При каких значениях $a$ функция $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ имеет единственную стационарную точку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Стационарные точки функции — это точки, в которых ее производная равна нулю. Для того чтобы найти эти точки, сначала необходимо вычислить производную заданной функции $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$ по переменной $x$.

Производная функции $y'(x)$ будет равна:

$y' = (x^3)' - (3ax^2)' + (27x)' - (5)' = 3x^2 - 3a \cdot 2x + 27 - 0 = 3x^2 - 6ax + 27$.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$3x^2 - 6ax + 27 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы упростить его, разделим все члены уравнения на 3:

$x^2 - 2ax + 9 = 0$.

Согласно условию задачи, функция должна иметь ровно одну стационарную точку. Это означает, что полученное квадратное уравнение должно иметь ровно один действительный корень. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Дискриминант для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-2a$, $C=9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36$.

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:

$4a^2 - 36 = 0$

$4a^2 = 36$

$a^2 = \frac{36}{4}$

$a^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что $a$ может принимать два значения:

$a_1 = 3$ и $a_2 = -3$.

Именно при этих значениях параметра $a$ дискриминант обращается в ноль, и, следовательно, функция имеет единственную стационарную точку.

Ответ: $a = 3$ или $a = -3$.