Номер 1074, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1074, страница 349.

Условие.

1074. Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте цилиндра $h$.

Периметр этого прямоугольника, согласно условию, равен 6 дм. Составим уравнение: $P = 2(2r + h) = 6$

Из этого уравнения можно выразить высоту $h$ через радиус $r$: $2r + h = 3$ $h = 3 - 2r$

Так как размеры должны быть положительными, имеем ограничения: $r > 0$ и $h > 0$. Из условия $h > 0$ следует, что $3 - 2r > 0$, то есть $2r < 3$ или $r < 1.5$. Таким образом, радиус может принимать значения в интервале $(0; 1.5)$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от радиуса $r$: $V(r) = \pi r^2 (3 - 2r) = 3\pi r^2 - 2\pi r^3$

Для нахождения значения $r$, при котором объём будет наибольшим, необходимо найти точку максимума этой функции. Для этого найдём её производную по $r$ и приравняем к нулю. $V'(r) = (3\pi r^2 - 2\pi r^3)' = 3\pi \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = 6\pi r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $6\pi r - 6\pi r^2 = 0$ $6\pi r(1 - r) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $r_1 = 0$ и $r_2 = 1$.

Значение $r = 0$ не входит в допустимый интервал $(0; 1.5)$, так как при таком радиусе цилиндр вырождается в отрезок и его объём равен нулю. Значение $r = 1$ принадлежит допустимому интервалу $(0; 1.5)$.

Чтобы определить, является ли точка $r = 1$ точкой максимума, воспользуемся второй производной. $V''(r) = (6\pi r - 6\pi r^2)' = 6\pi - 12\pi r$

Вычислим значение второй производной в точке $r = 1$: $V''(1) = 6\pi - 12\pi \cdot 1 = -6\pi$

Поскольку $V''(1) < 0$, точка $r=1$ является точкой максимума. Следовательно, при радиусе основания, равном 1 дм, объём цилиндра будет наибольшим.

Ответ: 1 дм.