Номер 1074, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1074, страница 349.
№1074 (с. 349)
Условие. №1074 (с. 349)
скриншот условия

1074. Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?
Решение 1. №1074 (с. 349)

Решение 2. №1074 (с. 349)

Решение 3. №1074 (с. 349)
Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте цилиндра $h$.
Периметр этого прямоугольника, согласно условию, равен 6 дм. Составим уравнение: $P = 2(2r + h) = 6$
Из этого уравнения можно выразить высоту $h$ через радиус $r$: $2r + h = 3$ $h = 3 - 2r$
Так как размеры должны быть положительными, имеем ограничения: $r > 0$ и $h > 0$. Из условия $h > 0$ следует, что $3 - 2r > 0$, то есть $2r < 3$ или $r < 1.5$. Таким образом, радиус может принимать значения в интервале $(0; 1.5)$.
Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$
Подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от радиуса $r$: $V(r) = \pi r^2 (3 - 2r) = 3\pi r^2 - 2\pi r^3$
Для нахождения значения $r$, при котором объём будет наибольшим, необходимо найти точку максимума этой функции. Для этого найдём её производную по $r$ и приравняем к нулю. $V'(r) = (3\pi r^2 - 2\pi r^3)' = 3\pi \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = 6\pi r - 6\pi r^2$
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $6\pi r - 6\pi r^2 = 0$ $6\pi r(1 - r) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $r_1 = 0$ и $r_2 = 1$.
Значение $r = 0$ не входит в допустимый интервал $(0; 1.5)$, так как при таком радиусе цилиндр вырождается в отрезок и его объём равен нулю. Значение $r = 1$ принадлежит допустимому интервалу $(0; 1.5)$.
Чтобы определить, является ли точка $r = 1$ точкой максимума, воспользуемся второй производной. $V''(r) = (6\pi r - 6\pi r^2)' = 6\pi - 12\pi r$
Вычислим значение второй производной в точке $r = 1$: $V''(1) = 6\pi - 12\pi \cdot 1 = -6\pi$
Поскольку $V''(1) < 0$, точка $r=1$ является точкой максимума. Следовательно, при радиусе основания, равном 1 дм, объём цилиндра будет наибольшим.
Ответ: 1 дм.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1074 расположенного на странице 349 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1074 (с. 349), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.