Номер 1080, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1080, страница 349.

Условие.

1080. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 2\ln^3 x - 9\ln^2 x + 12\ln x$

на отрезке $e^{3/4} \le x \le e^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2\ln^3 x - 9\ln^2 x + 12\ln x$ на отрезке $[e^{3/4}, e^3]$, мы сначала упростим задачу с помощью замены переменной, а затем применим стандартный алгоритм нахождения экстремумов функции на замкнутом интервале.

Введем замену: $t = \ln x$.

Определим новый интервал для переменной $t$. Поскольку $x \in [e^{3/4}, e^3]$, то $t$ будет находиться в интервале от $\ln(e^{3/4})$ до $\ln(e^3)$.

Нижняя граница: $t_{min} = \ln(e^{3/4}) = \frac{3}{4}$.

Верхняя граница: $t_{max} = \ln(e^3) = 3$.

Таким образом, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ на отрезке $[\frac{3}{4}, 3]$.

Найдем производную функции $g(t)$ для определения критических точек:

$g'(t) = (2t^3 - 9t^2 + 12t)' = 6t^2 - 18t + 12$.

Приравняем производную к нулю: $6t^2 - 18t + 12 = 0$.

Разделим уравнение на 6: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая квадратное уравнение, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Обе критические точки, $t=1$ и $t=2$, принадлежат отрезку $[\frac{3}{4}, 3]$.

Теперь вычислим значения функции $g(t)$ на концах отрезка и в найденных критических точках:

$g(\frac{3}{4}) = 2(\frac{3}{4})^3 - 9(\frac{3}{4})^2 + 12(\frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{27}{64} - 9 \cdot \frac{9}{16} + 9 = \frac{27}{32} - \frac{162}{32} + \frac{288}{32} = \frac{153}{32} = 4\frac{25}{32}$.

$g(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) = 2 - 9 + 12 = 5$.

$g(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 16 - 36 + 24 = 4$.

$g(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) = 54 - 81 + 36 = 9$.

Мы получили четыре значения для сравнения: $4\frac{25}{32}$, $5$, $4$ и $9$. Теперь выберем из них наибольшее и наименьшее.

Наименьшее значение функции

Сравнивая полученные значения $\{4\frac{25}{32}, 5, 4, 9\}$, мы видим, что наименьшим является 4. Это значение функция принимает при $t=2$, что соответствует $x=e^2$.

Ответ: 4.

Наибольшее значение функции

Среди значений $\{4\frac{25}{32}, 5, 4, 9\}$ наибольшим является 9. Это значение функция принимает на конце отрезка при $t=3$, что соответствует $x=e^3$.

Ответ: 9.