Номер 1085, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1085, страница 350.

Условие.

1085. Какой должна быть высота конуса с образующей 20 дм, чтобы его объём был наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи по нахождению высоты конуса, при которой его объем будет наибольшим, введем следующие обозначения: $h$ — высота конуса, $r$ — радиус основания конуса, $l$ — образующая конуса, $V$ — объем конуса.
По условию задачи, длина образующей задана и равна $l = 20$ дм.
Объем конуса определяется формулой:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Высота, радиус и образующая прямого кругового конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, они связаны следующим соотношением:
$r^2 + h^2 = l^2$
Подставим известное значение $l = 20$:
$r^2 + h^2 = 20^2 = 400$
Для того чтобы найти максимальный объем, нам нужно выразить объем как функцию одной переменной. Выразим $r^2$ через $h$ из полученного уравнения:
$r^2 = 400 - h^2$
Теперь подставим это выражение в формулу для объема:
$V(h) = \frac{1}{3}\pi (400 - h^2)h = \frac{\pi}{3}(400h - h^3)$
Таким образом, мы получили функцию объема $V(h)$, зависящую только от высоты $h$.
Определим область допустимых значений для $h$. Так как высота является геометрической величиной, $h > 0$. Кроме того, радиус также должен быть положительным, поэтому $r^2 > 0$, что означает $400 - h^2 > 0$. Отсюда $h^2 < 400$, и так как $h > 0$, получаем $0 < h < 20$.
Для нахождения максимального значения функции $V(h)$ на интервале $(0, 20)$, найдем ее производную по $h$:
$V'(h) = \left(\frac{\pi}{3}(400h - h^3)\right)' = \frac{\pi}{3}(400 - 3h^2)$
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{\pi}{3}(400 - 3h^2) = 0$
$400 - 3h^2 = 0$
$3h^2 = 400$
$h^2 = \frac{400}{3}$
$h = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ (мы берем только положительный корень, так как $h > 0$).
Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:
$h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ дм.
Теперь необходимо убедиться, что в этой точке функция $V(h)$ достигает максимума. Проверим, что найденное значение $h$ входит в область определения $(0, 20)$: $\frac{20\sqrt{3}}{3} \approx \frac{20 \cdot 1.732}{3} \approx 11.55$, что удовлетворяет условию $0 < 11.55 < 20$.
Исследуем знак производной $V'(h)$ в окрестности точки $h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$.
- Если $0 < h < \frac{20\sqrt{3}}{3}$, то $h^2 < \frac{400}{3}$, и $V'(h) = \frac{\pi}{3}(400 - 3h^2) > 0$. Значит, функция $V(h)$ возрастает.
- Если $\frac{20\sqrt{3}}{3} < h < 20$, то $h^2 > \frac{400}{3}$, и $V'(h) = \frac{\pi}{3}(400 - 3h^2) < 0$. Значит, функция $V(h)$ убывает.
Поскольку при переходе через точку $h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Следовательно, при данной высоте объем конуса будет наибольшим.
Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ дм.