Номер 1090, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1090, страница 350.

Условие.

1090. В конус с заданным объёмом $V$ вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным $\alpha$. При каком значении $\alpha$ объём пирамиды будет наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $V$ — заданный объём конуса, $H$ — его высота, а $R$ — радиус основания. Тогда объём конуса выражается формулой:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Пирамида вписана в конус. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (равнобедренный треугольник) вписано в основание конуса (круг). Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса $H$.

Объём пирамиды $V_{пир}$ вычисляется по формуле:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} H$

где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды (равнобедренного треугольника).

Из формулы объёма конуса выразим высоту $H$: $H = \frac{3V}{\pi R^2}$. Подставим это выражение в формулу объёма пирамиды:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \left(\frac{3V}{\pi R^2}\right) = \frac{V \cdot S_{осн}}{\pi R^2}$

Поскольку объём конуса $V$ является постоянной величиной, объём пирамиды $V_{пир}$ будет наибольшим, когда будет максимальным отношение площади основания треугольника к квадрату радиуса описанной окружности: $\frac{S_{осн}}{R^2}$.

Рассмотрим основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом при вершине $\alpha$, вписанный в окружность радиуса $R$. Пусть $b$ — длина равных боковых сторон, а $a$ — длина основания треугольника.

Площадь этого треугольника можно найти по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha$

Углы при основании треугольника равны $\frac{\pi - \alpha}{2}$. По теореме синусов для этого треугольника и описанной окружности радиуса $R$ имеем:

$\frac{b}{\sin\left(\frac{\pi - \alpha}{2}\right)} = 2R$

Используя формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, получаем:

$b = 2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу площади основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \left(2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha = 2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Подставим полученную площадь $S_{осн}$ в формулу для объёма пирамиды:

$V_{пир}(\alpha) = \frac{V}{\pi R^2} \left(2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha\right) = \frac{2V}{\pi} \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Чтобы найти максимальный объём, нужно найти максимальное значение функции $f(\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$ на интервале $(0, \pi)$, так как $\alpha$ — угол в треугольнике.

Упростим выражение, используя тригонометрические тождества: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ и $\sin \alpha$.

$f(\alpha) = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \sin \alpha = \frac{1}{2} (\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2} \left(\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin(2\alpha)\right)$

Найдём производную $f'(\alpha)$ и приравняем её к нулю:

$f'(\alpha) = \frac{1}{2} \left(\cos \alpha + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos(2\alpha)\right) = \frac{1}{2} (\cos \alpha + \cos(2\alpha))$

Используем формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1$:

$f'(\alpha) = \frac{1}{2} (\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1) = 0$

$2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 = 0$

Сделаем замену $x = \cos \alpha$. Так как $\alpha \in (0, \pi)$, то $x \in (-1, 1)$.

$2x^2 + x - 1 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = -1$

Вернёмся к замене:

1) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. В интервале $(0, \pi)$ этому условию удовлетворяет $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

2) $\cos \alpha = -1$. Этому условию удовлетворяет $\alpha = \pi$, что является граничным значением и соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью, а значит и нулевым объёмом пирамиды (минимум).

Проверим знак производной в окрестности точки $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

При $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$, имеем $\cos \alpha > \frac{1}{2}$. Выражение $2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1$ будет положительным, значит, $f'(\alpha) > 0$ и функция возрастает.

При $\frac{\pi}{3} < \alpha < \pi$, имеем $\cos \alpha < \frac{1}{2}$. Выражение $2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1$ будет отрицательным, значит, $f'(\alpha) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, при $\alpha = \frac{\pi}{3}$ достигается максимум функции $f(\alpha)$, а значит и максимум объёма пирамиды.

Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\frac{\pi}{3}$ (60°), то и углы при основании равны $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$. Таким образом, треугольник в основании является равносторонним.

Ответ: объём пирамиды будет наибольшим при $\alpha = \frac{\pi}{3}$.