Номер 1094, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1094, страница 350.

Условие.

1094.Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса $R$, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — высота правильной треугольной призмы, а $a$ — сторона её основания. Объём призмы $V$ вычисляется как произведение площади основания $S_{осн}$ на высоту $H$.

Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Его площадь равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Следовательно, объём призмы выражается формулой:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}H$

Поскольку призма вписана в сферу радиуса $R$, все её вершины лежат на поверхности сферы. Центр сферы совпадает с серединой высоты призмы, соединяющей центры оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{H}{2}$ (катет) и радиусом $r_c$ окружности, описанной около основания призмы (второй катет).

По теореме Пифагора имеем:$R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r_c^2$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $r_c = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим это выражение в предыдущее уравнение:$R^2 = \frac{H^2}{4} + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{H^2}{4} + \frac{a^2}{3}$

Из этого соотношения выразим $a^2$, чтобы подставить в формулу объёма и получить функцию, зависящую только от высоты $H$:$\frac{a^2}{3} = R^2 - \frac{H^2}{4}$$a^2 = 3(R^2 - \frac{H^2}{4})$

Теперь подставим $a^2$ в формулу для объёма $V$:$V(H) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3(R^2 - \frac{H^2}{4}) \cdot H = \frac{3\sqrt{3}}{4}(R^2H - \frac{H^3}{4})$

Мы получили функцию объёма призмы $V(H)$, зависящую от её высоты $H$. Чтобы найти высоту, при которой объём будет наибольшим, нужно найти максимум этой функции. Для этого найдём производную $V'(H)$ и приравняем её к нулю.$V'(H) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{d}{dH}(R^2H - \frac{H^3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}(R^2 - \frac{3H^2}{4})$

Приравниваем производную к нулю:$V'(H) = 0$$\frac{3\sqrt{3}}{4}(R^2 - \frac{3H^2}{4}) = 0$$R^2 - \frac{3H^2}{4} = 0$$R^2 = \frac{3H^2}{4}$$H^2 = \frac{4R^2}{3}$

Так как высота $H$ должна быть положительной, извлекаем корень:$H = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдём вторую производную:$V''(H) = \frac{3\sqrt{3}}{4}(-\frac{6H}{4}) = -\frac{9\sqrt{3}}{8}H$

Поскольку $H > 0$, вторая производная $V''(H)$ всегда отрицательна, что подтверждает, что найденное значение $H$ соответствует максимуму объёма.

Ответ: Высота призмы наибольшего объёма равна $\frac{2R\sqrt{3}}{3}$.