Номер 1095, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1095, страница 351.

Условие.

1095. Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть в конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$ вписан цилиндр. Обозначим радиус основания цилиндра как $r$ и его высоту как $h$. Объем такого цилиндра определяется формулой:

$V = \pi r^2 h$

Наша задача — найти такие значения $r$ и $h$, при которых объем $V$ будет максимальным. Для этого необходимо выразить одну переменную ($h$ или $r$) через другую, используя параметры конуса $R$ и $H$.

1. Установление связи между параметрами цилиндра и конуса

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него цилиндра. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Сечением цилиндра является прямоугольник с основанием $2r$ и высотой $h$.

В этом сечении мы видим два подобных прямоугольных треугольника. Первый — большой треугольник, образованный высотой конуса $H$ и радиусом его основания $R$. Второй — малый треугольник, который находится над цилиндром. Его катетами являются радиус цилиндра $r$ и разность высот конуса и цилиндра $(H-h)$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение:

$\frac{H-h}{r} = \frac{H}{R}$

Выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$:

$H-h = \frac{H \cdot r}{R}$

$h = H - \frac{H \cdot r}{R} = H \left(1 - \frac{r}{R}\right)$

При этом радиус цилиндра $r$ может изменяться в пределах от $0$ до $R$.

2. Нахождение объема цилиндра как функции одной переменной

Теперь подставим полученное выражение для $h$ в формулу объема цилиндра:

$V(r) = \pi r^2 \cdot H \left(1 - \frac{r}{R}\right)$

Раскроем скобки, чтобы получить функцию объема, зависящую только от радиуса $r$:

$V(r) = \pi H \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right)$

3. Поиск экстремума функции объема

Чтобы найти значение $r$, при котором объем $V$ максимален, найдем производную функции $V(r)$ по переменной $r$ и приравняем ее к нулю.

$V'(r) = \frac{dV}{dr} = \pi H \frac{d}{dr} \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right) = \pi H \left(2r - \frac{3r^2}{R}\right)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\pi H \left(2r - \frac{3r^2}{R}\right) = 0$

Поскольку $\pi > 0$ и $H > 0$, то равенство нулю достигается, когда:

$2r - \frac{3r^2}{R} = 0$

$r \left(2 - \frac{3r}{R}\right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $r_1 = 0$ и $2 - \frac{3r}{R} = 0$.

Решение $r=0$ соответствует цилиндру с нулевым объемом, что является минимумом. Найдем второе решение:

$2 = \frac{3r}{R}$

$3r = 2R$

$r = \frac{2}{3}R$

Это значение $r$ находится в допустимом диапазоне $(0, R)$. Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно исследовать знак производной или найти вторую производную.

$V''(r) = \pi H \left(2 - \frac{6r}{R}\right)$

При $r = \frac{2}{3}R$:

$V''\left(\frac{2}{3}R\right) = \pi H \left(2 - \frac{6}{R} \cdot \frac{2R}{3}\right) = \pi H (2-4) = -2\pi H$

Так как $H > 0$, вторая производная $V'' < 0$, что подтверждает, что при $r = \frac{2}{3}R$ объем цилиндра достигает максимума.

4. Определение высоты цилиндра наибольшего объема

Найдем соответствующую высоту $h$, подставив найденное значение $r$ в формулу, связывающую $h$ и $r$:

$h = H \left(1 - \frac{r}{R}\right) = H \left(1 - \frac{\frac{2}{3}R}{R}\right) = H \left(1 - \frac{2}{3}\right) = H \cdot \frac{1}{3} = \frac{H}{3}$

Таким образом, цилиндр будет иметь наибольший объем, если его радиус равен $\frac{2}{3}$ радиуса основания конуса, а его высота равна $\frac{1}{3}$ высоты конуса.

Ответ: Цилиндр наибольшего объема имеет радиус основания $r = \frac{2}{3}R$ и высоту $h = \frac{1}{3}H$.