Номер 1100, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1100, страница 351.

Условие.

1100. 1) $y = \cos x, x = \frac{\pi}{4}, y = 0;$

2) $y = 3^x, x = -1, x = 1, y = 0;$

3) $y = 2\cos 3x - 5\sin 2x + 10, y = 0, x = -\frac{3\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=\cos x$, $x=\frac{\pi}{4}$ и $y=0$, необходимо определить замкнутую область. В таких задачах, если не указана вторая вертикальная граница, часто подразумевается область, ограниченная также осью ординат ($x=0$). Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y=\cos x$, осями координат ($x=0, y=0$) и прямой $x=\frac{\pi}{4}$.

На промежутке $[0, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ является неотрицательной ($y \ge \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$).

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Первообразной для функции $\cos x$ является $\sin x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0)$

Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=3^x$, $x=-1$, $x=1$ и $y=0$. Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y=3^x$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=1$.

Функция $y=3^x$ является показательной и всегда положительна ($3^x > 0$ для любого действительного $x$).

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y=3^x$ в пределах от -1 до 1:

$S = \int_{-1}^{1} 3^x \,dx$

Первообразная для функции $a^x$ равна $\frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае первообразная для $3^x$ равна $\frac{3^x}{\ln 3}$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{-1}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1}}{\ln 3} = \frac{3}{\ln 3} - \frac{1/3}{\ln 3}$

$S = \frac{3 - \frac{1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{9-1}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{8}{3}}{\ln 3} = \frac{8}{3\ln 3}$

Ответ: $\frac{8}{3\ln 3}$

3) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2\cos(3x)-5\sin(2x)+10$, $y=0$, $x=-\frac{3\pi}{4}$ и $x=\frac{5\pi}{4}$.

Сначала проверим знак функции $f(x) = 2\cos(3x)-5\sin(2x)+10$ на интервале $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$.

Значения функций $\cos(3x)$ и $\sin(2x)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$. Тогда для выражения $2\cos(3x)-5\sin(2x)$ имеем:

Минимальное значение: $2(-1) - 5(1) = -7$.

Максимальное значение: $2(1) - 5(-1) = 7$.

Следовательно, $-7 \le 2\cos(3x)-5\sin(2x) \le 7$.

Тогда для всей функции $f(x)$ имеем: $-7+10 \le f(x) \le 7+10$, то есть $3 \le f(x) \le 17$.

Поскольку функция $f(x)$ положительна на всем промежутке интегрирования, площадь $S$ равна интегралу от функции на данном отрезке:

$S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (2\cos(3x) - 5\sin(2x) + 10) \,dx$

Найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (2\cos(3x) - 5\sin(2x) + 10) \,dx = 2 \cdot \frac{\sin(3x)}{3} - 5 \cdot \left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) + 10x = \frac{2}{3}\sin(3x) + \frac{5}{2}\cos(2x) + 10x$

Вычисляем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(\frac{5\pi}{4}) - F(-\frac{3\pi}{4})$.

Вычисляем $F(\frac{5\pi}{4})$:

$\sin(3 \cdot \frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{15\pi}{4}) = \sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$F(\frac{5\pi}{4}) = \frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{5}{2}(0) + 10\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2}$

Вычисляем $F(-\frac{3\pi}{4})$:

$\sin(3 \cdot (-\frac{3\pi}{4})) = \sin(-\frac{9\pi}{4}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(2 \cdot (-\frac{3\pi}{4})) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$F(-\frac{3\pi}{4}) = \frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{5}{2}(0) + 10\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{15\pi}{2}$

Находим площадь:

$S = \left(-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{15\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{25\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{15\pi}{2} = \frac{25\pi + 15\pi}{2} = \frac{40\pi}{2} = 20\pi$

Ответ: $20\pi$