Номер 1101, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1101. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=9x-x^3$ и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 3.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти уравнение касательной, затем определить точки её пересечения с графиком функции и вычислить площадь через определенный интеграл.

1. Нахождение уравнения касательной:

Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

• Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
  $f(3) = 9(3) - 3^3 = 27 - 27 = 0$.
• Найдем производную функции:
  $f'(x) = (9x - x^3)' = 9 - 3x^2$.
• Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:
  $f'(3) = 9 - 3(3^2) = 9 - 27 = -18$.
• Составим уравнение:
  $y = 0 + (-18)(x - 3) \Rightarrow \mathbf{y = -18x + 54}$.

2. Нахождение точек пересечения функции и касательной:

Приравняем функцию и касательную: $9x - x^3 = -18x + 54$.

Перенесем всё в одну сторону: $x^3 - 27x + 54 = 0$.

Мы уже знаем, что $x = 3$ — точка касания (кратный корень). Разделим многочлен на $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$:

$(x^3 - 27x + 54) : (x^2 - 6x + 9) = x + 6$.

Следовательно, точки пересечения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

3. Вычисление площади:

На интервале $[-6; 3]$ касательная находится выше графика функции (это можно проверить, подставив $x=0$: $y_{кас}=54$, $y_{функ}=0$).

$$S = \int_{-6}^{3} ((-18x + 54) - (9x - x^3)) dx = \int_{-6}^{3} (x^3 - 27x + 54) dx$$

$$S = \left( \frac{x^4}{4} - \frac{27x^2}{2} + 54x \right) \Big|_{-6}^{3}$$

Вычислим значение в точке 3:
$\frac{81}{4} - \frac{27 \cdot 9}{2} + 54 \cdot 3 = 20,25 - 121,5 + 162 = 60,75$.

Вычислим значение в точке -6:
$\frac{1296}{4} - \frac{27 \cdot 36}{2} + 54 \cdot (-6) = 324 - 486 - 324 = -486$.

Итоговая площадь:
$S = 60,75 - (-486) = 546,75$.

Ответ: 546,75