Номер 1101, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1101, страница 351.

Условие.

1101. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=9x-x^3$ и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции и касательной к нему, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в заданной точке.
2. Найти точки пересечения графика функции и касательной, чтобы определить пределы интегрирования.
3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение уравнения касательной

Дана функция $f(x) = 9x - x^3$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 3$.Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = 9 \cdot 3 - 3^3 = 27 - 27 = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(3, 0)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (9x - x^3)' = 9 - 3x^2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$f'(3) = 9 - 3 \cdot 3^2 = 9 - 3 \cdot 9 = 9 - 27 = -18$.

Подставим найденные значения $f(3)=0$ и $f'(3)=-18$ в уравнение касательной:
$y = 0 + (-18)(x - 3)$
$y = -18x + 54$.
Итак, уравнение касательной: $y_{кас} = -18x + 54$.

2. Нахождение пределов интегрирования

Чтобы найти пределы интегрирования, необходимо найти все точки пересечения графика функции $y = 9x - x^3