Номер 1096, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1096, страница 351.

Условие.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

(1096–1100).

1096.

1) $y=\sqrt{x-1}$, $y=3-x$, $y=0$;

2) $y=-\frac{1}{x}$, $y=x^2$, $y=\frac{x^2}{8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x-1}$, $y=3-x$ и $y=0$, сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить пределы интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения графиков друг с другом и с осью $Ox$ ($y=0$).

Пересечение графика $y=\sqrt{x-1}$ с осью $Ox$:
$\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$. Точка пересечения $(1, 0)$.

Пересечение графика $y=3-x$ с осью $Ox$:
$3-x = 0 \implies x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.

Пересечение графиков $y=\sqrt{x-1}$ и $y=3-x$:
$\sqrt{x-1} = 3-x$. Для решения возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование требует, чтобы правая часть была неотрицательной: $3-x \ge 0$, то есть $x \le 3$.
$x-1 = (3-x)^2$
$x-1 = 9 - 6x + x^2$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1=2$ и $x_2=5$.
Корень $x=5$ не удовлетворяет условию $x \le 3$, поэтому является посторонним. Подходит только корень $x=2$.
Найдем соответствующую ординату: $y = 3-2=1$. Точка пересечения $(2, 1)$.

Фигура ограничена снизу осью $Ox$ ($y=0$). Сверху на промежутке от $x=1$ до $x=2$ фигура ограничена кривой $y=\sqrt{x-1}$, а на промежутке от $x=2$ до $x=3$ — прямой $y=3-x$.
Поэтому площадь фигуры $S$ необходимо разбить на два интеграла:

$S = \int_{1}^{2} \sqrt{x-1} \,dx + \int_{2}^{3} (3-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл:
$\int_{1}^{2} \sqrt{x-1} \,dx = \int_{1}^{2} (x-1)^{\frac{1}{2}} \,dx = \left[ \frac{(x-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} \left[ (x-1)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} ( (2-1)^{\frac{3}{2}} - (1-1)^{\frac{3}{2}} ) = \frac{2}{3}(1-0) = \frac{2}{3}$.

Вычислим второй интеграл:
$\int_{2}^{3} (3-x) \,dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = (3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}) - (3 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) = (9 - \frac{9}{2}) - (6 - 2) = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$.

Общая площадь фигуры равна сумме этих двух значений:
$S = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y=-\frac{1}{x}$, $y=x^2$ и $y=\frac{x^2}{8}$, проанализируем расположение графиков и найдем их точки пересечения.

Функции $y=x^2$ и $y=\frac{x^2}{8}$ — это параболы, расположенные в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Функция $y=-\frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная во втором ($x<0, y>0$) и четвертом ($x>0, y<0$) квадрантах. Таким образом, фигура, ограниченная всеми тремя линиями, может существовать только во втором квадранте.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:

Пересечение $y=x^2$ и $y=-\frac{1}{x}$:
$x^2 = -\frac{1}{x} \implies x^3 = -1 \implies x=-1$. Точка пересечения $(-1, 1)$.

Пересечение $y=\frac{x^2}{8}$ и $y=-\frac{1}{x}$:
$\frac{x^2}{8} = -\frac{1}{x} \implies x^3 = -8 \implies x=-2$. Точка пересечения $(-2, \frac{1}{2})$.

Пересечение $y=x^2$ и $y=\frac{x^2}{8}$:
$x^2 = \frac{x^2}{8} \implies 8x^2 = x^2 \implies 7x^2 = 0 \implies x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

Искомая область интегрирования находится на отрезке $[-2, 0]$. Эта область разбивается на две части прямой $x=-1$.

• На отрезке $[-2, -1]$ фигура ограничена сверху линией $y=-\frac{1}{x}$ и снизу линией $y=\frac{x^2}{8}$.
• На отрезке $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху линией $y=x^2$ и снизу линией $y=\frac{x^2}{8}$.

Площадь $S$ равна сумме двух определенных интегралов:
$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) \,dx + \int_{-1}^{0} \left(x^2 - \frac{x^2}{8}\right) \,dx$

Вычислим первый интеграл:
$\int_{-2}^{-1} \left(-\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) \,dx = \left[-\ln|x| - \frac{x^3}{24}\right]_{-2}^{-1} = \left(-\ln|-1| - \frac{(-1)^3}{24}\right) - \left(-\ln|-2| - \frac{(-2)^3}{24}\right)$
$= \left(0 - \frac{-1}{24}\right) - \left(-\ln(2) - \frac{-8}{24}\right) = \frac{1}{24} + \ln(2) - \frac{8}{24} = \ln(2) - \frac{7}{24}$.

Вычислим второй интеграл:
$\int_{-1}^{0} \left(x^2 - \frac{x^2}{8}\right) \,dx = \int_{-1}^{0} \frac{7x^2}{8} \,dx = \left[\frac{7x^3}{24}\right]_{-1}^{0} = \frac{7 \cdot 0^3}{24} - \frac{7 \cdot (-1)^3}{24} = 0 - \frac{-7}{24} = \frac{7}{24}$.

Общая площадь равна сумме результатов:
$S = \left(\ln(2) - \frac{7}{24}\right) + \frac{7}{24} = \ln(2)$.

Ответ: $\ln(2)$