Номер 1092, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1092, страница 350.

Условие.

1092. Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса $R$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус сферы. Рассмотрим цилиндр, вписанный в эту сферу. Для того чтобы объем цилиндра был максимальным, его ось должна совпадать с диаметром сферы, а окружности его оснований должны лежать на поверхности сферы. Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Чтобы связать переменные $r$ и $h$ с постоянным радиусом сферы $R$, рассмотрим осевое сечение данной конфигурации. Сечением сферы является круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — вписанный в него прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания цилиндра) и $h$ (высота цилиндра).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). Согласно теореме Пифагора, мы имеем следующее соотношение: $r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2$

Наша задача — найти максимум функции объема $V(r, h)$. Для этого выразим объем как функцию одной переменной. Из соотношения выше выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$

Теперь подставим это выражение в формулу объема: $V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$ Эта функция определяет объем цилиндра в зависимости от его высоты $h$. Высота может принимать значения в интервале $0 < h < 2R$.

Для нахождения экстремума функции $V(h)$ найдем ее производную по $h$: $V'(h) = \frac{d}{dh} \left(\pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}\right) = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$ $R^2 = \frac{3h^2}{4}$ $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ Поскольку высота $h$ должна быть положительной, получаем: $h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Чтобы убедиться, что в этой точке достигается максимум, найдем вторую производную: $V''(h) = -\frac{d}{dh} \left(\frac{3\pi h^2}{4}\right) = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$ Так как $h > 0$, значение $V''(h)$ всегда отрицательно, что указывает на то, что найденное значение $h$ соответствует максимуму функции объема.

Теперь найдем радиус основания $r$ для цилиндра с такой высотой: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} = R^2 - \frac{1}{4} \left(\frac{4R^2}{3}\right) = R^2 - \frac{R^2}{3} = \frac{2R^2}{3}$ $r = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = R\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}R}{3}$

Наконец, вычислим наибольший объем: $V_{max} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{2R^2}{3}\right) \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}$

Ответ: цилиндр наибольшего объема имеет радиус основания $r = R\sqrt{\frac{2}{3}}$ и высоту $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.