Страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1081. На параболе $y = x^2$ найти точку, расстояние от которой до точки $A(2; \frac{1}{2})$ является наименьшим.

Пусть искомая точка на параболе $y=x^2$ имеет координаты $M(x; y)$. Так как точка $M$ принадлежит параболе, ее координаты можно записать в виде $M(x; x^2)$.

Расстояние $d$ между точкой $M(x; x^2)$ и заданной точкой $A(2; \frac{1}{2})$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - \frac{1}{2})^2}$

Чтобы найти наименьшее расстояние, можно минимизировать не само расстояние $d$, а его квадрат $d^2$. Это упрощает вычисления, так как избавляет от квадратного корня, а точка минимума для $d$ и $d^2$ будет достигаться при одном и том же значении $x$.

Введем функцию $f(x) = d^2$:

$f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - \frac{1}{2})^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + (x^4 - 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = x^2 - 4x + 4 + x^4 - x^2 + \frac{1}{4}$

$f(x) = x^4 - 4x + 4\frac{1}{4} = x^4 - 4x + \frac{17}{4}$

Для нахождения точки минимума функции $f(x)$ необходимо найти ее производную $f'(x)$ и приравнять ее к нулю.

$f'(x) = (x^4 - 4x + \frac{17}{4})' = 4x^3 - 4$

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4 = 0$

$4x^3 = 4$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x=1$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной.

$f''(x) = (4x^3 - 4)' = 12x^2$

Вычислим значение второй производной в точке $x=1$:

$f''(1) = 12 \cdot 1^2 = 12$

Поскольку $f''(1) > 0$, точка $x=1$ является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на всей области определения, то это точка глобального минимума.

Теперь найдем соответствующую координату $y$ искомой точки, подставив найденное значение $x=1$ в уравнение параболы $y=x^2$:

$y = 1^2 = 1$

Следовательно, искомая точка на параболе, расстояние от которой до точки $A(2; \frac{1}{2})$ является наименьшим, имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

1082. На координатной плоскости даны точки A(3; -1) и D(4; -1).

Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на параболе $y = 1 - x^2$, заданной на отрезке [-1; 1].

Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Даны точки $A(3; -1)$ и $D(4; -1)$. Отрезок $AD$ является одним из оснований трапеции. Так как ординаты точек $A$ и $D$ равны, основание $AD$ лежит на горизонтальной прямой $y = -1$. Длина этого основания, обозначим ее $a$, равна $a = |4 - 3| = 1$.

Вершины другого основания, назовем их $B$ и $C$, лежат на параболе $y = 1 - x^2$ на отрезке, где $x \in [-1; 1]$. Поскольку основания трапеции по определению параллельны, второе основание $BC$ также должно быть параллельно оси $Ox$, то есть лежать на горизонтальной прямой. Это означает, что ординаты точек $B$ и $C$ должны быть равны.

Пусть координаты вершин $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$. Из условия $y_B = y_C$ и того, что обе точки лежат на параболе, следует $1 - x_B^2 = 1 - x_C^2$, откуда $x_B^2 = x_C^2$. Так как $B$ и $C$ — разные вершины ($B \ne C$), то $x_B \ne x_C$, следовательно, $x_B = -x_C$.

Пусть $x_C = x_0$, тогда $x_B = -x_0$. Из условия, что вершины лежат на параболе для $x \in [-1; 1]$, следует, что $x_0 \in [-1; 1]$ и $-x_0 \in [-1; 1]$. Мы можем без ограничения общности считать, что $x_0 \in [0; 1]$ (так как при $x_0 < 0$ мы просто поменяем местами точки $B$ и $C$).

Координаты вершин второго основания: $B(-x_0, 1 - x_0^2)$ и $C(x_0, 1 - x_0^2)$. Длина этого основания, обозначим ее $b$, равна $b = |x_0 - (-x_0)| = |2x_0| = 2x_0$ (поскольку $x_0 \ge 0$).

Высота трапеции $h$ — это расстояние между параллельными прямыми $y = -1$ и $y = 1 - x_0^2$.$h = |(1 - x_0^2) - (-1)| = |2 - x_0^2|$. Так как $x_0 \in [0; 1]$, то $x_0^2 \in [0; 1]$, и выражение $2 - x_0^2$ всегда положительно. Таким образом, $h = 2 - x_0^2$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Подставим найденные выражения для $a$, $b$ и $h$ как функции от $x_0$:$S(x_0) = \frac{1 + 2x_0}{2}(2 - x_0^2)$.Нам нужно найти наибольшее значение этой функции на отрезке $x_0 \in [0; 1]$.

Раскроем скобки в выражении для площади:$S(x_0) = \frac{1}{2}(2 - x_0^2 + 4x_0 - 2x_0^3) = -x_0^3 - \frac{1}{2}x_0^2 + 2x_0 + 1$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $S(x_0)$ по $x_0$:$S'(x_0) = \frac{d}{dx_0}(-x_0^3 - \frac{1}{2}x_0^2 + 2x_0 + 1) = -3x_0^2 - x_0 + 2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$-3x_0^2 - x_0 + 2 = 0$$3x_0^2 + x_0 - 2 = 0$Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.Корни уравнения:$x_{0,1} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = -1$.$x_{0,2} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Рассматриваемому отрезку $[0; 1]$ принадлежит только одна критическая точка $x_0 = \frac{2}{3}$.Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить ее значения в этой критической точке и на концах отрезка $[0; 1]$:

• При $x_0 = 0$: $S(0) = \frac{1 + 2 \cdot 0}{2}(2 - 0^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
• При $x_0 = 1$: $S(1) = \frac{1 + 2 \cdot 1}{2}(2 - 1^2) = \frac{3}{2} \cdot 1 = 1.5 = \frac{3}{2}$.
• При $x_0 = \frac{2}{3}$: $S(\frac{2}{3}) = \frac{1 + 2 \cdot \frac{2}{3}}{2}(2 - (\frac{2}{3})^2) = \frac{1 + \frac{4}{3}}{2}(2 - \frac{4}{9}) = \frac{\frac{7}{3}}{2}(\frac{18-4}{9}) = \frac{7}{6} \cdot \frac{14}{9} = \frac{98}{54} = \frac{49}{27}$.

Сравним полученные значения: $1$, $\frac{3}{2}$ и $\frac{49}{27}$.$1 = \frac{27}{27}$.$\frac{3}{2} = 1.5 = \frac{40.5}{27}$.$\frac{49}{27} \approx 1.815$.Наибольшее значение равно $\frac{49}{27}$, и оно достигается при $x_0 = \frac{2}{3}$.

Таким образом, наибольшая площадь трапеции равна $\frac{49}{27}$.

Ответ: $\frac{49}{27}$.

1083. На координатной плоскости дана точка $K(3; 6)$. Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси $Oy$ и лежат на параболе $y = 4x^2$, заданной на отрезке $[-1; 1]$, а точка $K$ — середина одной из сторон. Из этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Пусть вершины треугольника – точки A, B и C. Согласно условию, две вершины симметричны относительно оси $Oy$ и лежат на параболе $y = 4x^2$. Обозначим эти вершины как A и B.

Пусть абсцисса точки A равна $t$. Тогда её ордината будет $y_A = 4t^2$. Так как точка B симметрична точке A относительно оси $Oy$, её координаты будут $(-t, 4t^2)$. По условию, абсциссы этих точек лежат на отрезке $[-1; 1]$, следовательно, $t \in [-1; 1]$. Без ограничения общности будем считать, что $t \in [0; 1]$ (так как пара точек $(t, 4t^2)$ и $(-t, 4t^2)$ будет той же самой, что и пара $(-t, 4(-t)^2)$ и $(t, 4t^2)$).

Итак, имеем координаты вершин: $A(t, 4t^2)$, $B(-t, 4t^2)$, где $t \in [0; 1]$. Координаты третьей вершины C обозначим как $(x_C, y_C)$.

Точка $K(3; 6)$ является серединой одной из сторон треугольника. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Точка K – середина стороны AB.
Координаты середины отрезка AB находятся по формулам: $x_K = \frac{t + (-t)}{2} = 0$, $y_K = \frac{4t^2 + 4t^2}{2} = 4t^2$. Приравнивая их к координатам точки K, получаем систему: $0 = 3$ $4t^2 = 6$ Первое уравнение не имеет решений, значит, этот случай невозможен.

2. Точка K – середина стороны AC.
Координаты середины отрезка AC: $x_K = \frac{t + x_C}{2}$, $y_K = \frac{4t^2 + y_C}{2}$. Приравнивая их к координатам точки K, получаем систему: $\frac{t + x_C}{2} = 3 \Rightarrow t + x_C = 6 \Rightarrow x_C = 6 - t$ $\frac{4t^2 + y_C}{2} = 6 \Rightarrow 4t^2 + y_C = 12 \Rightarrow y_C = 12 - 4t^2$ Таким образом, координаты вершины C: $(6 - t, 12 - 4t^2)$.

3. Точка K – середина стороны BC.
Координаты середины отрезка BC: $x_K = \frac{-t + x_C}{2}$, $y_K = \frac{4t^2 + y_C}{2}$. Приравнивая их к координатам точки K, получаем систему: $\frac{-t + x_C}{2} = 3 \Rightarrow -t + x_C = 6 \Rightarrow x_C = 6 + t$ $\frac{4t^2 + y_C}{2} = 6 \Rightarrow 4t^2 + y_C = 12 \Rightarrow y_C = 12 - 4t^2$ Таким образом, координаты вершины C: $(6 + t, 12 - 4t^2)$.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Основание AB параллельно оси $Ox$, его длина равна $|t - (-t)| = 2t$. Высота треугольника, проведенная из вершины C к основанию AB, равна разности ординат вершины C и прямой, на которой лежит основание AB ($y = 4t^2$). Высота $h = |y_C - 4t^2| = |(12 - 4t^2) - 4t^2| = |12 - 8t^2|$. Поскольку $t \in [0; 1]$, то $t^2 \in [0; 1]$, и $8t^2 \in [0; 8]$. Следовательно, выражение $12 - 8t^2$ всегда положительно. Значит, $h = 12 - 8t^2$.

Площадь треугольника $S$ как функция от $t$: $S(t) = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2t) \cdot (12 - 8t^2) = t(12 - 8t^2) = 12t - 8t^3$. Заметим, что формула для площади одинакова для случаев 2 и 3.

Нам необходимо найти наибольшее значение функции $S(t) = 12t - 8t^3$ на отрезке $t \in [0; 1]$. Для этого найдем производную функции $S(t)$ по $t$: $S'(t) = (12t - 8t^3)' = 12 - 24t^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $12 - 24t^2 = 0$ $24t^2 = 12$ $t^2 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ $t = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Отрицательный корень не рассматриваем, так как $t \in [0; 1]$. Найденная критическая точка $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежит отрезку $[0; 1]$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, можно проверить знак производной. При $t < \frac{\sqrt{2}}{2}$ производная $S'(t) > 0$ (функция возрастает), а при $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ производная $S'(t) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ является точкой максимума.

Найдем значения площади в этой точке и на концах отрезка $[0; 1]$: $S(0) = 12(0) - 8(0)^3 = 0$. $S(1) = 12(1) - 8(1)^3 = 12 - 8 = 4$. $S(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 12\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = 6\sqrt{2} - 8\left(\frac{2\sqrt{2}}{8}\right) = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Сравним полученные значения: $0$, $4$ и $4\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $4\sqrt{2} \approx 5.656$, что больше 4. Следовательно, наибольшая площадь треугольника равна $4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.

1084. Каковы должны быть коэффициенты $p$ и $q$ квадратичной функции $y=x^2+px+q$, чтобы при $x=5$ она имела минимум, равный 1?

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + px + q$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая совпадает с вершиной параболы.

По условию задачи, минимум функции достигается при $x = 5$, и значение этого минимума равно 1. Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0, y_0) = (5, 1)$.

Абсцисса (координата $x$) вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=p$ и $x_0 = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$5 = \frac{-p}{2 \cdot 1}$

$5 = \frac{-p}{2}$

Отсюда мы можем найти значение коэффициента $p$:

$p = -2 \cdot 5 = -10$

Теперь, зная значение $p$, мы можем частично записать уравнение функции: $y = x^2 - 10x + q$.

Так как точка $(5, 1)$ является вершиной параболы, она принадлежит ее графику. Это значит, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = 5$ и $y = 1$:

$1 = (5)^2 - 10 \cdot 5 + q$

$1 = 25 - 50 + q$

$1 = -25 + q$

Из этого уравнения находим значение коэффициента $q$:

$q = 1 + 25 = 26$

Таким образом, искомые коэффициенты равны $p = -10$ и $q = 26$.

Ответ: $p = -10, q = 26$.

1085. Какой должна быть высота конуса с образующей 20 дм, чтобы его объём был наибольшим?

Для решения задачи по нахождению высоты конуса, при которой его объем будет наибольшим, введем следующие обозначения: $h$ — высота конуса, $r$ — радиус основания конуса, $l$ — образующая конуса, $V$ — объем конуса.
По условию задачи, длина образующей задана и равна $l = 20$ дм.
Объем конуса определяется формулой:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Высота, радиус и образующая прямого кругового конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, они связаны следующим соотношением:
$r^2 + h^2 = l^2$
Подставим известное значение $l = 20$:
$r^2 + h^2 = 20^2 = 400$
Для того чтобы найти максимальный объем, нам нужно выразить объем как функцию одной переменной. Выразим $r^2$ через $h$ из полученного уравнения:
$r^2 = 400 - h^2$
Теперь подставим это выражение в формулу для объема:
$V(h) = \frac{1}{3}\pi (400 - h^2)h = \frac{\pi}{3}(400h - h^3)$
Таким образом, мы получили функцию объема $V(h)$, зависящую только от высоты $h$.
Определим область допустимых значений для $h$. Так как высота является геометрической величиной, $h > 0$. Кроме того, радиус также должен быть положительным, поэтому $r^2 > 0$, что означает $400 - h^2 > 0$. Отсюда $h^2 < 400$, и так как $h > 0$, получаем $0 < h < 20$.
Для нахождения максимального значения функции $V(h)$ на интервале $(0, 20)$, найдем ее производную по $h$:
$V'(h) = \left(\frac{\pi}{3}(400h - h^3)\right)' = \frac{\pi}{3}(400 - 3h^2)$
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{\pi}{3}(400 - 3h^2) = 0$
$400 - 3h^2 = 0$
$3h^2 = 400$
$h^2 = \frac{400}{3}$
$h = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ (мы берем только положительный корень, так как $h > 0$).
Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:
$h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ дм.
Теперь необходимо убедиться, что в этой точке функция $V(h)$ достигает максимума. Проверим, что найденное значение $h$ входит в область определения $(0, 20)$: $\frac{20\sqrt{3}}{3} \approx \frac{20 \cdot 1.732}{3} \approx 11.55$, что удовлетворяет условию $0 < 11.55 < 20$.
Исследуем знак производной $V'(h)$ в окрестности точки $h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$.
- Если $0 < h < \frac{20\sqrt{3}}{3}$, то $h^2 < \frac{400}{3}$, и $V'(h) = \frac{\pi}{3}(400 - 3h^2) > 0$. Значит, функция $V(h)$ возрастает.
- Если $\frac{20\sqrt{3}}{3} < h < 20$, то $h^2 > \frac{400}{3}$, и $V'(h) = \frac{\pi}{3}(400 - 3h^2) < 0$. Значит, функция $V(h)$ убывает.
Поскольку при переходе через точку $h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Следовательно, при данной высоте объем конуса будет наибольшим.
Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ дм.

1086. Какую наименьшую площадь полной поверхности имеет цилиндр, если его объём равен $V$?

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а его высота равна $h$.

Объём цилиндра $V$ и площадь его полной поверхности $S$ определяются формулами:
$V = \pi r^2 h$
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

По условию, объём $V$ — это заданная постоянная величина. Нам необходимо найти наименьшее возможное значение площади $S$. Для этого нужно выразить $S$ как функцию одной переменной. Выразим высоту $h$ через объём $V$ и радиус $r$ из формулы объёма:
$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности, чтобы получить функцию $S$ от одной переменной $r$:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(r)$ на интервале $r \in (0, +\infty)$, найдём её производную по $r$ и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.
$S'(r) = \frac{d}{dr}\left(2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\right) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравняем производную к нулю:
$4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$
$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$
$4\pi r^3 = 2V$
$r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$
Отсюда находим радиус, при котором площадь поверхности может быть минимальной:
$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Чтобы проверить, что эта точка является точкой минимума, найдём вторую производную функции $S(r)$:
$S''(r) = \frac{d}{dr}\left(4\pi r - 2V r^{-2}\right) = 4\pi - 2V(-2r^{-3}) = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$
Так как объём $V > 0$ и радиус $r > 0$, вторая производная $S''(r)$ всегда положительна. Следовательно, найденная критическая точка является точкой минимума.

Найдём соотношение между высотой $h$ и радиусом $r$ для такого цилиндра. Из выражения для критического радиуса имеем $V = 2\pi r^3$. Подставим это в формулу для высоты:
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$
Это означает, что наименьшую площадь полной поверхности при заданном объёме имеет цилиндр, у которого высота равна диаметру основания.

Наконец, вычислим значение наименьшей площади поверхности $S_{min}$, подставив $h=2r$ в исходную формулу для $S$, а затем выразив $r$ через $V$:
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 6\pi r^2$
Подставляем $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$:
$S_{min} = 6\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2 = 6\pi \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3} = 6\pi \frac{V^{2/3}}{(2\pi)^{2/3}} = \frac{6\pi}{2^{2/3}\pi^{2/3}}V^{2/3}$
$S_{min} = 3 \cdot 2^{1-2/3} \cdot \pi^{1-2/3} V^{2/3} = 3 \cdot 2^{1/3} \cdot \pi^{1/3} V^{2/3} = 3(2\pi)^{1/3}V^{2/3}$
Это выражение можно записать в виде:
$S_{min} = 3\sqrt[3]{2\pi V^2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{2\pi V^2}$

1087. Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса $R$ и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.

Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $r$, при котором площадь боковой поверхности цилиндра будет максимальной.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$.

Так как цилиндр вписан в шар, его основания являются кругами, лежащими в параллельных плоскостях, а окружности оснований лежат на поверхности шара. Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник с высотой $h$ и шириной $2r$, вписанный в этот круг.

Диагональ этого прямоугольника равна диаметру шара $2R$. Однако для удобства рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора имеем соотношение:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Из этого уравнения можно выразить высоту $h$ через $r$ и $R$:

$\frac{h^2}{4} = R^2 - r^2 \Rightarrow h^2 = 4(R^2 - r^2) \Rightarrow h = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $r$:

$S(r) = 2\pi r \cdot (2\sqrt{R^2 - r^2}) = 4\pi r\sqrt{R^2 - r^2}$

Чтобы найти значение $r$, при котором функция $S(r)$ достигает максимума, нужно найти ее производную и приравнять к нулю. Для упрощения вычислений можно исследовать на максимум квадрат этой функции, так как $S(r) > 0$, и точка максимума для $S(r)$ совпадет с точкой максимума для $S^2(r)$.

Пусть $f(r) = S^2(r) = (4\pi r\sqrt{R^2 - r^2})^2 = 16\pi^2 r^2(R^2 - r^2) = 16\pi^2(R^2r^2 - r^4)$.

Найдем производную функции $f(r)$ по $r$:

$f'(r) = \frac{d}{dr}(16\pi^2(R^2r^2 - r^4)) = 16\pi^2(2R^2r - 4r^3)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$16\pi^2(2R^2r - 4r^3) = 0$

Поскольку $r > 0$ (радиус не может быть нулевым или отрицательным), можно разделить обе части уравнения на $16\pi^2 r$:

$2R^2 - 4r^2 = 0$

$4r^2 = 2R^2$

$r^2 = \frac{2R^2}{4} = \frac{R^2}{2}$

$r = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно использовать вторую производную:

$f''(r) = \frac{d}{dr}(16\pi^2(2R^2r - 4r^3)) = 16\pi^2(2R^2 - 12r^2)$

Подставив $r^2 = \frac{R^2}{2}$, получаем:

$f'' = 16\pi^2(2R^2 - 12\frac{R^2}{2}) = 16\pi^2(2R^2 - 6R^2) = 16\pi^2(-4R^2) = -64\pi^2R^2$

Так как $f'' < 0$, найденная точка является точкой максимума. Таким образом, наибольшая площадь боковой поверхности цилиндра достигается при радиусе основания $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{R\sqrt{2}}{2}$

1088. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.

Пусть $R$ — радиус шара, а $h$ и $r$ — соответственно высота и радиус основания вписанного в шар цилиндра. Задача состоит в том, чтобы найти значение $h$, при котором объём цилиндра $V$ будет максимальным.

Объём цилиндра определяется по формуле: $V = \pi r^2 h$.

Для установления связи между переменными $r$, $h$ и $R$ рассмотрим осевое сечение, проходящее через центр шара. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник с высотой $h$ и шириной $2r$, вписанный в этот круг.

Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара, но для удобства рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$. Согласно теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$ $R^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$

Из этого соотношения выразим $r^2$, чтобы подставить в формулу объёма и получить функцию одной переменной: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$.

Теперь объём цилиндра можно записать как функцию от высоты $h$: $V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$.

Определим область допустимых значений для $h$. Высота должна быть положительной ($h > 0$). Кроме того, радиус $r$ должен быть вещественным числом, что означает $r^2 > 0$. Это накладывает следующее ограничение: $R^2 - \frac{h^2}{4} > 0 \implies 4R^2 > h^2 \implies 2R > h$. Следовательно, мы ищем максимум функции $V(h)$ на интервале $(0, 2R)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$: $V'(h) = \frac{d}{dh}\left(\pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}\right) = \pi R^2 - \frac{\pi}{4} \cdot 3h^2 = \pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $V'(h) = 0$ $\pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0$ $R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$ $R^2 = \frac{3h^2}{4}$ $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ $h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Полученное значение $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$ находится в пределах нашего интервала $(0, 2R)$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Для проверки того, что эта точка является точкой максимума, можно использовать вторую производную: $V''(h) = \frac{d

1089. Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.

Пусть $R$ — радиус шара, а $h$ и $r$ — высота и радиус основания вписанного конуса соответственно. Нам нужно найти такое значение $h$, при котором объём конуса $V$ будет максимальным.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара является круг радиуса $R$, а сечением конуса — равнобедренный треугольник, вписанный в этот круг. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, а половина его основания — радиусу основания конуса $r$.

Свяжем размеры конуса ($r$ и $h$) с радиусом шара $R$. Пусть центр шара является началом координат. Ось конуса совпадает с одной из координатных осей. Высота конуса $h$ и радиус его основания $r$ связаны с радиусом шара $R$ через теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания конуса $r$ (катет) и расстоянием от центра шара до плоскости основания конуса (второй катет). Это расстояние равно $|h - R|$.

Таким образом, мы имеем соотношение:

$r^2 + (h - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и выразим $r^2$ через $h$ и $R$:

$r^2 + h^2 - 2hR + R^2 = R^2$

$r^2 = 2hR - h^2$

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим в неё полученное выражение для $r^2$, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от высоты $h$:

$V(h) = \frac{1}{3}\pi (2hR - h^2)h = \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3)$

Чтобы найти наибольший объём, необходимо найти максимум функции $V(h)$. Для этого найдем её производную по $h$ и приравняем к нулю. Заметим, что высота конуса $h$ может изменяться в пределах от $0$ до $2R$.

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3) \right) = \frac{\pi}{3}(2R \cdot 2h - 3h^2) = \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) = 0$

$h(4R - 3h) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $h_1=0$ и $h_2 = \frac{4R}{3}$.

Значение $h=0$ соответствует конусу с нулевым объёмом, что является минимумом. Значение $h = \frac{4R}{3}$ находится в допустимом интервале $(0, 2R)$ и является точкой возможного экстремума.

Чтобы убедиться, что эта точка является точкой максимума, можно использовать вторую производную:

$V''(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) \right) = \frac{\pi}{3}(4R - 6h)$

Вычислим значение второй производной в точке $h = \frac{4R}{3}$:

$V''\left(\frac{4R}{3}\right) = \frac{\pi}{3}\left(4R - 6\cdot\frac{4R}{3}\right) = \frac{\pi}{3}(4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3}$

Поскольку радиус шара $R > 0$, вторая производная отрицательна. Это означает, что при $h = \frac{4R}{3}$ объём конуса достигает своего максимального значения.

Ответ: $\frac{4R}{3}$.

1090. В конус с заданным объёмом $V$ вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным $\alpha$. При каком значении $\alpha$ объём пирамиды будет наибольшим?

Пусть $V$ — заданный объём конуса, $H$ — его высота, а $R$ — радиус основания. Тогда объём конуса выражается формулой:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Пирамида вписана в конус. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (равнобедренный треугольник) вписано в основание конуса (круг). Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса $H$.

Объём пирамиды $V_{пир}$ вычисляется по формуле:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} H$

где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды (равнобедренного треугольника).

Из формулы объёма конуса выразим высоту $H$: $H = \frac{3V}{\pi R^2}$. Подставим это выражение в формулу объёма пирамиды:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \left(\frac{3V}{\pi R^2}\right) = \frac{V \cdot S_{осн}}{\pi R^2}$

Поскольку объём конуса $V$ является постоянной величиной, объём пирамиды $V_{пир}$ будет наибольшим, когда будет максимальным отношение площади основания треугольника к квадрату радиуса описанной окружности: $\frac{S_{осн}}{R^2}$.

Рассмотрим основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом при вершине $\alpha$, вписанный в окружность радиуса $R$. Пусть $b$ — длина равных боковых сторон, а $a$ — длина основания треугольника.

Площадь этого треугольника можно найти по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha$

Углы при основании треугольника равны $\frac{\pi - \alpha}{2}$. По теореме синусов для этого треугольника и описанной окружности радиуса $R$ имеем:

$\frac{b}{\sin\left(\frac{\pi - \alpha}{2}\right)} = 2R$

Используя формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, получаем:

$b = 2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу площади основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \left(2R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha = 2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Подставим полученную площадь $S_{осн}$ в формулу для объёма пирамиды:

$V_{пир}(\alpha) = \frac{V}{\pi R^2} \left(2R^2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha\right) = \frac{2V}{\pi} \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$

Чтобы найти максимальный объём, нужно найти максимальное значение функции $f(\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \alpha$ на интервале $(0, \pi)$, так как $\alpha$ — угол в треугольнике.

Упростим выражение, используя тригонометрические тождества: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ и $\sin \alpha$.

$f(\alpha) = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \sin \alpha = \frac{1}{2} (\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2} \left(\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin(2\alpha)\right)$

Найдём производную $f'(\alpha)$ и приравняем её к нулю:

$f'(\alpha) = \frac{1}{2} \left(\cos \alpha + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos(2\alpha)\right) = \frac{1}{2} (\cos \alpha + \cos(2\alpha))$

Используем формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1$:

$f'(\alpha) = \frac{1}{2} (\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1) = 0$

$2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 = 0$

Сделаем замену $x = \cos \alpha$. Так как $\alpha \in (0, \pi)$, то $x \in (-1, 1)$.

$2x^2 + x - 1 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = -1$

Вернёмся к замене:

1) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. В интервале $(0, \pi)$ этому условию удовлетворяет $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

2) $\cos \alpha = -1$. Этому условию удовлетворяет $\alpha = \pi$, что является граничным значением и соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью, а значит и нулевым объёмом пирамиды (минимум).

Проверим знак производной в окрестности точки $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

При $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$, имеем $\cos \alpha > \frac{1}{2}$. Выражение $2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1$ будет положительным, значит, $f'(\alpha) > 0$ и функция возрастает.

При $\frac{\pi}{3} < \alpha < \pi$, имеем $\cos \alpha < \frac{1}{2}$. Выражение $2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1$ будет отрицательным, значит, $f'(\alpha) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, при $\alpha = \frac{\pi}{3}$ достигается максимум функции $f(\alpha)$, а значит и максимум объёма пирамиды.

Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\frac{\pi}{3}$ (60°), то и углы при основании равны $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$. Таким образом, треугольник в основании является равносторонним.

Ответ: объём пирамиды будет наибольшим при $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

1091. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $p$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте $h$. Периметр этого прямоугольника по условию задачи равен $p$.

Запишем формулу для периметра осевого сечения: $P = 2(2r + h) = p$

Объём цилиндра $V$, который нам необходимо максимизировать, вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Для решения этой задачи оптимизации, выразим одну из переменных (например, $h$) через другую ($r$) из формулы периметра и подставим в формулу объёма. Из $2(2r + h) = p$ получаем $2r + h = \frac{p}{2}$, откуда $h = \frac{p}{2} - 2r$.

Подставим полученное выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $r$: $V(r) = \pi r^2 \left(\frac{p}{2} - 2r\right) = \frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3$

Для нахождения максимального значения функции $V(r)$, найдём её производную по переменной $r$ и приравняем её к нулю. $V'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3\right) = \frac{\pi p}{2} \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = \pi p r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\pi p r - 6\pi r^2 = 0$ Вынесем общий множитель $\pi r$ за скобки: $\pi r(p - 6r) = 0$

Так как радиус цилиндра $r$ по смыслу задачи не может быть равен нулю ($r>0$), то решением уравнения будет: $p - 6r = 0 \implies 6r = p \implies r = \frac{p}{6}$

Найденное значение $r$ соответствует точке максимума объёма (что можно дополнительно проверить с помощью знака второй производной). Теперь найдём соответствующую этому радиусу высоту $h$: $h = \frac{p}{2} - 2r = \frac{p}{2} - 2\left(\frac{p}{6}\right) = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{3p - 2p}{6} = \frac{p}{6}$

Наконец, вычислим наибольший возможный объём, подставив найденные значения $r = \frac{p}{6}$ и $h = \frac{p}{6}$ в исходную формулу объёма: $V_{\text{max}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{p}{6}\right)^2 \left(\frac{p}{6}\right) = \pi \cdot \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216}$

Ответ: $\frac{\pi p^3}{216}$

1092. Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса $R$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть $R$ — радиус сферы. Рассмотрим цилиндр, вписанный в эту сферу. Для того чтобы объем цилиндра был максимальным, его ось должна совпадать с диаметром сферы, а окружности его оснований должны лежать на поверхности сферы. Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Чтобы связать переменные $r$ и $h$ с постоянным радиусом сферы $R$, рассмотрим осевое сечение данной конфигурации. Сечением сферы является круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — вписанный в него прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания цилиндра) и $h$ (высота цилиндра).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). Согласно теореме Пифагора, мы имеем следующее соотношение: $r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2$

Наша задача — найти максимум функции объема $V(r, h)$. Для этого выразим объем как функцию одной переменной. Из соотношения выше выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$

Теперь подставим это выражение в формулу объема: $V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$ Эта функция определяет объем цилиндра в зависимости от его высоты $h$. Высота может принимать значения в интервале $0 < h < 2R$.

Для нахождения экстремума функции $V(h)$ найдем ее производную по $h$: $V'(h) = \frac{d}{dh} \left(\pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}\right) = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$ $R^2 = \frac{3h^2}{4}$ $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ Поскольку высота $h$ должна быть положительной, получаем: $h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Чтобы убедиться, что в этой точке достигается максимум, найдем вторую производную: $V''(h) = -\frac{d}{dh} \left(\frac{3\pi h^2}{4}\right) = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$ Так как $h > 0$, значение $V''(h)$ всегда отрицательно, что указывает на то, что найденное значение $h$ соответствует максимуму функции объема.

Теперь найдем радиус основания $r$ для цилиндра с такой высотой: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} = R^2 - \frac{1}{4} \left(\frac{4R^2}{3}\right) = R^2 - \frac{R^2}{3} = \frac{2R^2}{3}$ $r = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = R\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}R}{3}$

Наконец, вычислим наибольший объем: $V_{max} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{2R^2}{3}\right) \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}$

Ответ: цилиндр наибольшего объема имеет радиус основания $r = R\sqrt{\frac{2}{3}}$ и высоту $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

1093. Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром основания $D$ и высотой $H$ цилиндра расход жести будет наименьшим?

Для решения этой задачи необходимо найти такое соотношение между диаметром основания $D$ и высотой $H$ цилиндра, при котором площадь его полной поверхности $S$ будет минимальной при заданном постоянном объеме $V$. Расход жести прямо пропорционален площади полной поверхности банки.

1. Запишем формулы для объема и площади поверхности цилиндра.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле:
$V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания.
Так как диаметр $D = 2R$, то $R = D/2$. Подставим это в формулу объема:
$V = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 H = \frac{\pi D^2 H}{4}$.
Поскольку объем $V$ задан и является константой, это уравнение связывает $H$ и $D$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ состоит из площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.
Площадь двух оснований: $S_{осн} = 2 \cdot \pi R^2 = 2 \cdot \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{2}$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi R H = \pi D H$.
Общая площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi D^2}{2} + \pi D H$.

2. Выразим площадь поверхности как функцию одной переменной.

Наша цель — минимизировать функцию $S(D, H)$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу для постоянного объема $V$.
Из формулы объема $V = \frac{\pi D^2 H}{4}$ выразим высоту $H$:
$H = \frac{4V}{\pi D^2}$.
Теперь подставим это выражение для $H$ в формулу площади поверхности $S$:
$S(D) = \frac{\pi D^2}{2} + \pi D \left(\frac{4V}{\pi D^2}\right) = \frac{\pi D^2}{2} + \frac{4V}{D}$.

3. Найдем минимум функции $S(D)$.

Чтобы найти значение $D$, при котором площадь $S$ минимальна, нужно найти производную функции $S(D)$ по переменной $D$ и приравнять ее к нулю.
$S'(D) = \frac{d}{dD} \left(\frac{\pi D^2}{2} + \frac{4V}{D}\right) = \frac{\pi \cdot 2D}{2} - \frac{4V}{D^2} = \pi D - \frac{4V}{D^2}$.
Приравняем производную к нулю для нахождения точки экстремума:
$\pi D - \frac{4V}{D^2} = 0$.
$\pi D = \frac{4V}{D^2}$.
$\pi D^3 = 4V$.

4. Определим искомое соотношение.

Мы получили условие для минимальной площади поверхности: $\pi D^3 = 4V$. Вспомним также формулу для объема: $V = \frac{\pi D^2 H}{4}$.
Отсюда $4V = \pi D^2 H$.
Подставим это выражение в наше условие минимума:
$\pi D^3 = \pi D^2 H$.
Поскольку диаметр $D$ не может быть равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\pi D^2$:
$D = H$.

Таким образом, расход жести будет наименьшим, когда высота цилиндра равна диаметру его основания. Такую форму часто называют "равносторонним цилиндром".

Ответ: Расход жести будет наименьшим при условии, что высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $H=D$.

1094.Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса $R$, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.

Пусть $H$ — высота правильной треугольной призмы, а $a$ — сторона её основания. Объём призмы $V$ вычисляется как произведение площади основания $S_{осн}$ на высоту $H$.

Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Его площадь равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Следовательно, объём призмы выражается формулой:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}H$

Поскольку призма вписана в сферу радиуса $R$, все её вершины лежат на поверхности сферы. Центр сферы совпадает с серединой высоты призмы, соединяющей центры оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{H}{2}$ (катет) и радиусом $r_c$ окружности, описанной около основания призмы (второй катет).

По теореме Пифагора имеем:$R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r_c^2$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $r_c = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим это выражение в предыдущее уравнение:$R^2 = \frac{H^2}{4} + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{H^2}{4} + \frac{a^2}{3}$

Из этого соотношения выразим $a^2$, чтобы подставить в формулу объёма и получить функцию, зависящую только от высоты $H$:$\frac{a^2}{3} = R^2 - \frac{H^2}{4}$$a^2 = 3(R^2 - \frac{H^2}{4})$

Теперь подставим $a^2$ в формулу для объёма $V$:$V(H) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3(R^2 - \frac{H^2}{4}) \cdot H = \frac{3\sqrt{3}}{4}(R^2H - \frac{H^3}{4})$

Мы получили функцию объёма призмы $V(H)$, зависящую от её высоты $H$. Чтобы найти высоту, при которой объём будет наибольшим, нужно найти максимум этой функции. Для этого найдём производную $V'(H)$ и приравняем её к нулю.$V'(H) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{d}{dH}(R^2H - \frac{H^3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}(R^2 - \frac{3H^2}{4})$

Приравниваем производную к нулю:$V'(H) = 0$$\frac{3\sqrt{3}}{4}(R^2 - \frac{3H^2}{4}) = 0$$R^2 - \frac{3H^2}{4} = 0$$R^2 = \frac{3H^2}{4}$$H^2 = \frac{4R^2}{3}$

Так как высота $H$ должна быть положительной, извлекаем корень:$H = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдём вторую производную:$V''(H) = \frac{3\sqrt{3}}{4}(-\frac{6H}{4}) = -\frac{9\sqrt{3}}{8}H$

Поскольку $H > 0$, вторая производная $V''(H)$ всегда отрицательна, что подтверждает, что найденное значение $H$ соответствует максимуму объёма.

Ответ: Высота призмы наибольшего объёма равна $\frac{2R\sqrt{3}}{3}$.