Номер 1081, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1081, страница 350.

Условие.

1081. На параболе $y = x^2$ найти точку, расстояние от которой до точки $A(2; \frac{1}{2})$ является наименьшим.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка на параболе $y=x^2$ имеет координаты $M(x; y)$. Так как точка $M$ принадлежит параболе, ее координаты можно записать в виде $M(x; x^2)$.

Расстояние $d$ между точкой $M(x; x^2)$ и заданной точкой $A(2; \frac{1}{2})$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - \frac{1}{2})^2}$

Чтобы найти наименьшее расстояние, можно минимизировать не само расстояние $d$, а его квадрат $d^2$. Это упрощает вычисления, так как избавляет от квадратного корня, а точка минимума для $d$ и $d^2$ будет достигаться при одном и том же значении $x$.

Введем функцию $f(x) = d^2$:

$f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - \frac{1}{2})^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + (x^4 - 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = x^2 - 4x + 4 + x^4 - x^2 + \frac{1}{4}$

$f(x) = x^4 - 4x + 4\frac{1}{4} = x^4 - 4x + \frac{17}{4}$

Для нахождения точки минимума функции $f(x)$ необходимо найти ее производную $f'(x)$ и приравнять ее к нулю.

$f'(x) = (x^4 - 4x + \frac{17}{4})' = 4x^3 - 4$

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4 = 0$

$4x^3 = 4$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x=1$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной.

$f''(x) = (4x^3 - 4)' = 12x^2$

Вычислим значение второй производной в точке $x=1$:

$f''(1) = 12 \cdot 1^2 = 12$

Поскольку $f''(1) > 0$, точка $x=1$ является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на всей области определения, то это точка глобального минимума.

Теперь найдем соответствующую координату $y$ искомой точки, подставив найденное значение $x=1$ в уравнение параболы $y=x^2$:

$y = 1^2 = 1$

Следовательно, искомая точка на параболе, расстояние от которой до точки $A(2; \frac{1}{2})$ является наименьшим, имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.