Номер 1078, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1078, страница 349.
№1078 (с. 349)
Условие. №1078 (с. 349)
скриншот условия

1078. Для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$.
Решение 1. №1078 (с. 349)

Решение 2. №1078 (с. 349)

Решение 3. №1078 (с. 349)
Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, необходимо найти ее неопределенный интеграл.
Общий вид первообразной $F(x)$ находится по формуле:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (x^{-2} + \cos x) dx$
Используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
$F(x) = \int x^{-2} dx + \int \cos x dx$
Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу интегралов:
$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_1 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1$
$\int \cos x dx = \sin x + C_2$
Следовательно, общий вид первообразной для функции $f(x)$ будет:
$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x + C$, где $C = C_1 + C_2$ — произвольная постоянная.
По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение первообразной мы получим верное равенство. Подставим $x = 0,5\pi$ и $F(x) = -\frac{2}{\pi}$ в полученное уравнение:
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{0,5\pi} + \sin(0,5\pi) + C$
Упростим выражение. Мы знаем, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$, а $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{\pi/2} + 1 + C$
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi} + 1 + C$
Теперь решим уравнение относительно $C$:
$0 = 1 + C$
$C = -1$
Подставим найденное значение константы $C = -1$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую первообразную.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1078 расположенного на странице 349 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1078 (с. 349), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.