Номер 1078, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1078, страница 349.

№1078 (с. 349)
Условие. №1078 (с. 349)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 349, номер 1078, Условие

1078. Для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$.

Решение 1. №1078 (с. 349)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 349, номер 1078, Решение 1
Решение 2. №1078 (с. 349)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 349, номер 1078, Решение 2
Решение 3. №1078 (с. 349)

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, необходимо найти ее неопределенный интеграл.

Общий вид первообразной $F(x)$ находится по формуле:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (x^{-2} + \cos x) dx$

Используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
$F(x) = \int x^{-2} dx + \int \cos x dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу интегралов:
$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_1 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1$
$\int \cos x dx = \sin x + C_2$

Следовательно, общий вид первообразной для функции $f(x)$ будет:
$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x + C$, где $C = C_1 + C_2$ — произвольная постоянная.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение первообразной мы получим верное равенство. Подставим $x = 0,5\pi$ и $F(x) = -\frac{2}{\pi}$ в полученное уравнение:
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{0,5\pi} + \sin(0,5\pi) + C$

Упростим выражение. Мы знаем, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$, а $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{\pi/2} + 1 + C$
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi} + 1 + C$

Теперь решим уравнение относительно $C$:
$0 = 1 + C$
$C = -1$

Подставим найденное значение константы $C = -1$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую первообразную.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1078 расположенного на странице 349 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1078 (с. 349), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.