Номер 1078, страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1078, страница 349.

Условие.

1078. Для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, необходимо найти ее неопределенный интеграл.

Общий вид первообразной $F(x)$ находится по формуле:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (x^{-2} + \cos x) dx$

Используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
$F(x) = \int x^{-2} dx + \int \cos x dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу интегралов:
$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_1 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1$
$\int \cos x dx = \sin x + C_2$

Следовательно, общий вид первообразной для функции $f(x)$ будет:
$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x + C$, где $C = C_1 + C_2$ — произвольная постоянная.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение первообразной мы получим верное равенство. Подставим $x = 0,5\pi$ и $F(x) = -\frac{2}{\pi}$ в полученное уравнение:
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{0,5\pi} + \sin(0,5\pi) + C$

Упростим выражение. Мы знаем, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$, а $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{\pi/2} + 1 + C$
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi} + 1 + C$

Теперь решим уравнение относительно $C$:
$0 = 1 + C$
$C = -1$

Подставим найденное значение константы $C = -1$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую первообразную.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$