Номер 1084, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1084, страница 350.

Условие.

1084. Каковы должны быть коэффициенты $p$ и $q$ квадратичной функции $y=x^2+px+q$, чтобы при $x=5$ она имела минимум, равный 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + px + q$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая совпадает с вершиной параболы.

По условию задачи, минимум функции достигается при $x = 5$, и значение этого минимума равно 1. Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0, y_0) = (5, 1)$.

Абсцисса (координата $x$) вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=p$ и $x_0 = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$5 = \frac{-p}{2 \cdot 1}$

$5 = \frac{-p}{2}$

Отсюда мы можем найти значение коэффициента $p$:

$p = -2 \cdot 5 = -10$

Теперь, зная значение $p$, мы можем частично записать уравнение функции: $y = x^2 - 10x + q$.

Так как точка $(5, 1)$ является вершиной параболы, она принадлежит ее графику. Это значит, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = 5$ и $y = 1$:

$1 = (5)^2 - 10 \cdot 5 + q$

$1 = 25 - 50 + q$

$1 = -25 + q$

Из этого уравнения находим значение коэффициента $q$:

$q = 1 + 25 = 26$

Таким образом, искомые коэффициенты равны $p = -10$ и $q = 26$.

Ответ: $p = -10, q = 26$.