Номер 1088, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1088. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.

Для решения этой задачи воспользуемся методами дифференциального исчисления для нахождения экстремума функции.

1. Введение переменных и геометрические соотношения:

Пусть $h$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус его основания. Цилиндр вписан в шар радиуса $R$.

Рассмотрим осевое сечение шара. В нем прямоугольник (сечение цилиндра) вписан в окружность. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом цилиндра и половиной его высоты, получаем:

$$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 \Rightarrow r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$$

2. Составление функции объёма:

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим выражение для $r^2$ через $h$:

$$V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right)h = \pi \left(R^2h - \frac{h^3}{4}\right)$$

Область определения функции по смыслу задачи: $0 < h < 2R$.

3. Нахождение критических точек (производная):

Найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$:

$$V'(h) = \pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right)$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:

$$R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0 \Rightarrow \frac{3h^2}{4} = R^2 \Rightarrow h^2 = \frac{4R^2}{3}$$

$$h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$$

4. Проверка на максимум:

При переходе через точку $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума. Таким образом, при этой высоте объём цилиндра будет наибольшим.

Ответ: $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$