Номер 1088, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1088, страница 350.
№1088 (с. 350)
Условие. №1088 (с. 350)
скриншот условия

1088. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.
Решение 1. №1088 (с. 350)

Решение 2. №1088 (с. 350)

Решение 3. №1088 (с. 350)
Пусть $R$ — радиус шара, а $h$ и $r$ — соответственно высота и радиус основания вписанного в шар цилиндра. Задача состоит в том, чтобы найти значение $h$, при котором объём цилиндра $V$ будет максимальным.
Объём цилиндра определяется по формуле: $V = \pi r^2 h$.
Для установления связи между переменными $r$, $h$ и $R$ рассмотрим осевое сечение, проходящее через центр шара. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник с высотой $h$ и шириной $2r$, вписанный в этот круг.
Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара, но для удобства рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$. Согласно теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$ $R^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$
Из этого соотношения выразим $r^2$, чтобы подставить в формулу объёма и получить функцию одной переменной: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$.
Теперь объём цилиндра можно записать как функцию от высоты $h$: $V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$.
Определим область допустимых значений для $h$. Высота должна быть положительной ($h > 0$). Кроме того, радиус $r$ должен быть вещественным числом, что означает $r^2 > 0$. Это накладывает следующее ограничение: $R^2 - \frac{h^2}{4} > 0 \implies 4R^2 > h^2 \implies 2R > h$. Следовательно, мы ищем максимум функции $V(h)$ на интервале $(0, 2R)$.
Для нахождения точки максимума найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$: $V'(h) = \frac{d}{dh}\left(\pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}\right) = \pi R^2 - \frac{\pi}{4} \cdot 3h^2 = \pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right)$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $V'(h) = 0$ $\pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0$ $R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$ $R^2 = \frac{3h^2}{4}$ $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ $h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.
Полученное значение $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$ находится в пределах нашего интервала $(0, 2R)$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Для проверки того, что эта точка является точкой максимума, можно использовать вторую производную: $V''(h) = \frac{d
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1088 расположенного на странице 350 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1088 (с. 350), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.