Номер 1088, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1088, страница 350.

Условие.

1088. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $h$ и $r$ — соответственно высота и радиус основания вписанного в шар цилиндра. Задача состоит в том, чтобы найти значение $h$, при котором объём цилиндра $V$ будет максимальным.

Объём цилиндра определяется по формуле: $V = \pi r^2 h$.

Для установления связи между переменными $r$, $h$ и $R$ рассмотрим осевое сечение, проходящее через центр шара. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник с высотой $h$ и шириной $2r$, вписанный в этот круг.

Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара, но для удобства рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$. Согласно теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$ $R^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$

Из этого соотношения выразим $r^2$, чтобы подставить в формулу объёма и получить функцию одной переменной: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$.

Теперь объём цилиндра можно записать как функцию от высоты $h$: $V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$.

Определим область допустимых значений для $h$. Высота должна быть положительной ($h > 0$). Кроме того, радиус $r$ должен быть вещественным числом, что означает $r^2 > 0$. Это накладывает следующее ограничение: $R^2 - \frac{h^2}{4} > 0 \implies 4R^2 > h^2 \implies 2R > h$. Следовательно, мы ищем максимум функции $V(h)$ на интервале $(0, 2R)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$: $V'(h) = \frac{d}{dh}\left(\pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}\right) = \pi R^2 - \frac{\pi}{4} \cdot 3h^2 = \pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $V'(h) = 0$ $\pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0$ $R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$ $R^2 = \frac{3h^2}{4}$ $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ $h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Полученное значение $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$ находится в пределах нашего интервала $(0, 2R)$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Для проверки того, что эта точка является точкой максимума, можно использовать вторую производную: $V''(h) = \frac{d