Номер 1086, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1086, страница 350.

Условие.

1086. Какую наименьшую площадь полной поверхности имеет цилиндр, если его объём равен $V$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а его высота равна $h$.

Объём цилиндра $V$ и площадь его полной поверхности $S$ определяются формулами:
$V = \pi r^2 h$
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

По условию, объём $V$ — это заданная постоянная величина. Нам необходимо найти наименьшее возможное значение площади $S$. Для этого нужно выразить $S$ как функцию одной переменной. Выразим высоту $h$ через объём $V$ и радиус $r$ из формулы объёма:
$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности, чтобы получить функцию $S$ от одной переменной $r$:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(r)$ на интервале $r \in (0, +\infty)$, найдём её производную по $r$ и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.
$S'(r) = \frac{d}{dr}\left(2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\right) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравняем производную к нулю:
$4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$
$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$
$4\pi r^3 = 2V$
$r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$
Отсюда находим радиус, при котором площадь поверхности может быть минимальной:
$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Чтобы проверить, что эта точка является точкой минимума, найдём вторую производную функции $S(r)$:
$S''(r) = \frac{d}{dr}\left(4\pi r - 2V r^{-2}\right) = 4\pi - 2V(-2r^{-3}) = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$
Так как объём $V > 0$ и радиус $r > 0$, вторая производная $S''(r)$ всегда положительна. Следовательно, найденная критическая точка является точкой минимума.

Найдём соотношение между высотой $h$ и радиусом $r$ для такого цилиндра. Из выражения для критического радиуса имеем $V = 2\pi r^3$. Подставим это в формулу для высоты:
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$
Это означает, что наименьшую площадь полной поверхности при заданном объёме имеет цилиндр, у которого высота равна диаметру основания.

Наконец, вычислим значение наименьшей площади поверхности $S_{min}$, подставив $h=2r$ в исходную формулу для $S$, а затем выразив $r$ через $V$:
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 6\pi r^2$
Подставляем $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$:
$S_{min} = 6\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2 = 6\pi \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3} = 6\pi \frac{V^{2/3}}{(2\pi)^{2/3}} = \frac{6\pi}{2^{2/3}\pi^{2/3}}V^{2/3}$
$S_{min} = 3 \cdot 2^{1-2/3} \cdot \pi^{1-2/3} V^{2/3} = 3 \cdot 2^{1/3} \cdot \pi^{1/3} V^{2/3} = 3(2\pi)^{1/3}V^{2/3}$
Это выражение можно записать в виде:
$S_{min} = 3\sqrt[3]{2\pi V^2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{2\pi V^2}$