Номер 1087, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1087, страница 350.

Условие.

1087. Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса $R$ и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $r$, при котором площадь боковой поверхности цилиндра будет максимальной.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$.

Так как цилиндр вписан в шар, его основания являются кругами, лежащими в параллельных плоскостях, а окружности оснований лежат на поверхности шара. Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник с высотой $h$ и шириной $2r$, вписанный в этот круг.

Диагональ этого прямоугольника равна диаметру шара $2R$. Однако для удобства рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора имеем соотношение:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Из этого уравнения можно выразить высоту $h$ через $r$ и $R$:

$\frac{h^2}{4} = R^2 - r^2 \Rightarrow h^2 = 4(R^2 - r^2) \Rightarrow h = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $r$:

$S(r) = 2\pi r \cdot (2\sqrt{R^2 - r^2}) = 4\pi r\sqrt{R^2 - r^2}$

Чтобы найти значение $r$, при котором функция $S(r)$ достигает максимума, нужно найти ее производную и приравнять к нулю. Для упрощения вычислений можно исследовать на максимум квадрат этой функции, так как $S(r) > 0$, и точка максимума для $S(r)$ совпадет с точкой максимума для $S^2(r)$.

Пусть $f(r) = S^2(r) = (4\pi r\sqrt{R^2 - r^2})^2 = 16\pi^2 r^2(R^2 - r^2) = 16\pi^2(R^2r^2 - r^4)$.

Найдем производную функции $f(r)$ по $r$:

$f'(r) = \frac{d}{dr}(16\pi^2(R^2r^2 - r^4)) = 16\pi^2(2R^2r - 4r^3)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$16\pi^2(2R^2r - 4r^3) = 0$

Поскольку $r > 0$ (радиус не может быть нулевым или отрицательным), можно разделить обе части уравнения на $16\pi^2 r$:

$2R^2 - 4r^2 = 0$

$4r^2 = 2R^2$

$r^2 = \frac{2R^2}{4} = \frac{R^2}{2}$

$r = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно использовать вторую производную:

$f''(r) = \frac{d}{dr}(16\pi^2(2R^2r - 4r^3)) = 16\pi^2(2R^2 - 12r^2)$

Подставив $r^2 = \frac{R^2}{2}$, получаем:

$f'' = 16\pi^2(2R^2 - 12\frac{R^2}{2}) = 16\pi^2(2R^2 - 6R^2) = 16\pi^2(-4R^2) = -64\pi^2R^2$

Так как $f'' < 0$, найденная точка является точкой максимума. Таким образом, наибольшая площадь боковой поверхности цилиндра достигается при радиусе основания $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{R\sqrt{2}}{2}$