Номер 1093, страница 350 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1093, страница 350.

Условие.

1093. Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром основания $D$ и высотой $H$ цилиндра расход жести будет наименьшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо найти такое соотношение между диаметром основания $D$ и высотой $H$ цилиндра, при котором площадь его полной поверхности $S$ будет минимальной при заданном постоянном объеме $V$. Расход жести прямо пропорционален площади полной поверхности банки.

1. Запишем формулы для объема и площади поверхности цилиндра.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле:
$V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания.
Так как диаметр $D = 2R$, то $R = D/2$. Подставим это в формулу объема:
$V = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 H = \frac{\pi D^2 H}{4}$.
Поскольку объем $V$ задан и является константой, это уравнение связывает $H$ и $D$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ состоит из площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.
Площадь двух оснований: $S_{осн} = 2 \cdot \pi R^2 = 2 \cdot \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{2}$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi R H = \pi D H$.
Общая площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi D^2}{2} + \pi D H$.

2. Выразим площадь поверхности как функцию одной переменной.

Наша цель — минимизировать функцию $S(D, H)$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу для постоянного объема $V$.
Из формулы объема $V = \frac{\pi D^2 H}{4}$ выразим высоту $H$:
$H = \frac{4V}{\pi D^2}$.
Теперь подставим это выражение для $H$ в формулу площади поверхности $S$:
$S(D) = \frac{\pi D^2}{2} + \pi D \left(\frac{4V}{\pi D^2}\right) = \frac{\pi D^2}{2} + \frac{4V}{D}$.

3. Найдем минимум функции $S(D)$.

Чтобы найти значение $D$, при котором площадь $S$ минимальна, нужно найти производную функции $S(D)$ по переменной $D$ и приравнять ее к нулю.
$S'(D) = \frac{d}{dD} \left(\frac{\pi D^2}{2} + \frac{4V}{D}\right) = \frac{\pi \cdot 2D}{2} - \frac{4V}{D^2} = \pi D - \frac{4V}{D^2}$.
Приравняем производную к нулю для нахождения точки экстремума:
$\pi D - \frac{4V}{D^2} = 0$.
$\pi D = \frac{4V}{D^2}$.
$\pi D^3 = 4V$.

4. Определим искомое соотношение.

Мы получили условие для минимальной площади поверхности: $\pi D^3 = 4V$. Вспомним также формулу для объема: $V = \frac{\pi D^2 H}{4}$.
Отсюда $4V = \pi D^2 H$.
Подставим это выражение в наше условие минимума:
$\pi D^3 = \pi D^2 H$.
Поскольку диаметр $D$ не может быть равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\pi D^2$:
$D = H$.

Таким образом, расход жести будет наименьшим, когда высота цилиндра равна диаметру его основания. Такую форму часто называют "равносторонним цилиндром".

Ответ: Расход жести будет наименьшим при условии, что высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $H=D$.