Номер 1097, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1097, страница 351.

Условие.

1097. 1) $y = 4x - x^2$, $y = 5$, $x = 0$, $x = 3$;

2) $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 6$, $x = -1$, $x = 3$;

3) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \pi$;

4) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Фигура ограничена линиями $y=4x-x^2$, $y=5$, $x=0$, $x=3$.

Для нахождения площади фигуры необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций, $y=4x-x^2$ или $y=5$, принимает большие значения на отрезке $[0, 3]$.

Рассмотрим разность $5 - (4x-x^2) = x^2 - 4x + 5$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 5$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то трехчлен $x^2 - 4x + 5$ всегда положителен. Это означает, что $5 > 4x-x^2$ для всех $x$, в том числе и на отрезке $[0, 3]$.

Таким образом, верхняя граница фигуры - это прямая $y=5$, а нижняя - парабола $y=4x-x^2$. Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле площади криволинейной трапеции:

$S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) \,dx$

$S = \int_0^3 (5 - (4x-x^2)) \,dx = \int_0^3 (x^2 - 4x + 5) \,dx$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int (x^2 - 4x + 5) \,dx = \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x$.

$S = \left( \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right) \Big|_0^3 = \left(\frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 5(3)\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 5(0)\right)$

$= \left(\frac{27}{3} - 2 \cdot 9 + 15\right) - 0 = (9 - 18 + 15) = 6$.

Ответ: $6$.

2) Фигура ограничена линиями $y=x^2-2x+8$, $y=6$, $x=-1$, $x=3$.

Определим взаимное расположение графиков функций $y=x^2-2x+8$ и $y=6$ на отрезке $[-1, 3]$.

Рассмотрим их разность: $(x^2-2x+8) - 6 = x^2-2x+2$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2-2x+2$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то $x^2-2x+2 > 0$ при всех $x$. Это означает, что парабола $y=x^2-2x+8$ всегда находится выше прямой $y=6$.

Площадь $S$ фигуры равна:

$S = \int_{-1}^3 ((x^2-2x+8) - 6) \,dx = \int_{-1}^3 (x^2-2x+2) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$\int (x^2-2x+2) \,dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$.

$S = \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right) \Big|_{-1}^3 = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2 + 2(3)\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 2(-1)\right)$

$= (9 - 9 + 6) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 2\right) = 6 - \left(-\frac{1}{3} - 3\right) = 6 - \left(-\frac{10}{3}\right) = 6 + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} + \frac{10}{3} = \frac{28}{3}$.

Ответ: $\frac{28}{3}$.

3) Фигура ограничена линиями $y=\sin x$, $y=0$, $x=\frac{2\pi}{3}$, $x=\pi$.

На отрезке $\left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right]$ (вторая координатная четверть) функция $y=\sin x$ принимает неотрицательные значения, то есть $\sin x \ge 0$.

Следовательно, верхняя граница фигуры - это кривая $y=\sin x$, а нижняя - прямая $y=0$ (ось Ox).

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл:

$S = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - 0) \,dx = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx$.

Вычислим интеграл:

$\int \sin x \,dx = -\cos x$.

$S = (-\cos x) \Big|_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} = (-\cos \pi) - \left(-\cos \frac{2\pi}{3}\right) = -(-1) + \cos \frac{2\pi}{3}$.

Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, получаем:

$S = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Фигура ограничена линиями $y=\cos x$, $y=0$, $x=-\frac{\pi}{6}$, $x=\frac{\pi}{6}$.

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$ (часть первой и четвертой координатных четвертей) функция $y=\cos x$ принимает положительные значения, так как $\cos x > 0$ для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, верхняя граница фигуры - кривая $y=\cos x$, а нижняя - прямая $y=0$ (ось Ox).

Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} (\cos x - 0) \,dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \,dx$.

Вычислим интеграл:

$\int \cos x \,dx = \sin x$.

$S = (\sin x) \Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Так как $\sin(x)$ является нечетной функцией, то $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$S = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$.