Номер 1102, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1102, страница 351.

Условие.

1102. Доказать, что при $-1 \le x \le 1$ сумма $\arcsin x + \arccos x$ равна C, где C — постоянная. Найти C.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Докажем, что сумма $\arcsin x + \arccos x$ является постоянной, и найдем эту постоянную.
Рассмотрим функцию $f(x) = \arcsin x + \arccos x$. Областью определения этой функции является отрезок $[-1, 1]$, так как это общая область определения для функций $\arcsin x$ и $\arccos x$.
Чтобы доказать, что функция является постоянной, найдем её производную на интервале $(-1, 1)$. Если производная равна нулю на всем интервале, то функция на этом интервале постоянна.
$f'(x) = (\arcsin x + \arccos x)' = (\arcsin x)' + (\arccos x)'$.
Используем известные формулы для производных обратных тригонометрических функций:
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
Тогда производная $f'(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0$ для всех $x \in (-1, 1)$.
Поскольку производная функции равна нулю на интервале $(-1, 1)$, функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале. Так как $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[-1, 1]$ (как сумма двух непрерывных функций), она сохраняет свое постоянное значение на всем отрезке.
Таким образом, мы доказали, что $\arcsin x + \arccos x = C$, где $C$ — постоянная.

Теперь найдем значение постоянной $C$.
Для этого достаточно вычислить значение функции $f(x)$ в любой удобной точке из отрезка $[-1, 1]$.
Выберем, например, $x = 0$.
$C = f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0)$.
По определению обратных тригонометрических функций:
$\arcsin(0) = 0$, так как $\sin(0) = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.
Следовательно, значение постоянной $C$ равно:
$C = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Доказано, что сумма $\arcsin x + \arccos x$ является постоянной. Значение этой постоянной $C = \frac{\pi}{2}$.