Номер 1103, страница 351 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1103, страница 351.

Условие.

1103. Найти все значения b, при каждом из которых производная функции

$f(x) = \sin 2x - 8(b + 2)\cos x - (4b^2 + 16b + 6)x$

отрицательна на всей числовой прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, производная функции $f(x) = \sin 2x - 8(b + 2)\cos x - (4b^2 + 16b + 6)x$ должна быть отрицательна на всей числовой прямой, то есть $f'(x) < 0$ для всех действительных $x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\sin 2x)' - (8(b + 2)\cos x)' - ((4b^2 + 16b + 6)x)'$$f'(x) = 2\cos 2x - 8(b + 2)(-\sin x) - (4b^2 + 16b + 6)$$f'(x) = 2\cos 2x + 8(b + 2)\sin x - (4b^2 + 16b + 6)$

Теперь запишем и преобразуем неравенство $f'(x) < 0$. Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести неравенство к одной тригонометрической функции:$2(1 - 2\sin^2 x) + 8(b + 2)\sin x - (4b^2 + 16b + 6) < 0$$2 - 4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 6 < 0$$-4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 4 < 0$

Разделим обе части неравенства на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:$\sin^2 x - 2(b + 2)\sin x + b^2 + 4b + 1 > 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ может принимать любые значения из этого отрезка. Неравенство должно выполняться для всех $x$, а значит, и для всех $t \in [-1, 1]$.Получаем квадратное неравенство относительно $t$:$t^2 - 2(b + 2)t + b^2 + 4b + 1 > 0$

Рассмотрим функцию $g(t) = t^2 - 2(b + 2)t + b^2 + 4b + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $g(t) > 0$ будет выполняться для всех $t \in [-1, 1]$ тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ будет строго больше нуля.

Наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке зависит от положения вершины параболы $t_v = -\frac{-2(b+2)}{2 \cdot 1} = b+2$ относительно отрезка $[-1, 1]$. Рассмотрим три возможных случая.

1) Вершина параболы лежит левее отрезка $[-1, 1]$: $t_v < -1$.$b + 2 < -1 \implies b < -3$.В этом случае функция $g(t)$ возрастает на всем отрезке $[-1, 1]$, и ее наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, то есть в точке $t = -1$.Требуется выполнение условия $g(-1) > 0$:$g(-1) = (-1)^2 - 2(b+2)(-1) + b^2 + 4b + 1 = 1 + 2(b+2) + b^2 + 4b + 1 = 1 + 2b + 4 + b^2 + 4b + 1 = b^2 + 6b + 6$.Решим неравенство $b^2 + 6b + 6 > 0$. Корни уравнения $b^2 + 6b + 6 = 0$ равны $b_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36-24}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$.Следовательно, неравенство выполняется при $b < -3 - \sqrt{3}$ или $b > -3 + \sqrt{3}$.С учетом условия $b < -3$, получаем решение для этого случая: $b < -3 - \sqrt{3}$.

2) Вершина параболы лежит внутри отрезка $[-1, 1]$: $-1 \le t_v \le 1$.$-1 \le b + 2 \le 1 \implies -3 \le b \le -1$.В этом случае наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ достигается в вершине $t_v = b+2$.Найдем это значение:$g(t_v) = g(b+2) = (b+2)^2 - 2(b+2)(b+2) + b^2+4b+1 = -(b+2)^2 + b^2+4b+1 = -(b^2+4b+4) + b^2+4b+1 = -3$.Требуется выполнение условия $g(t_v) > 0$, что приводит к неравенству $-3 > 0$. Это неравенство ложно, следовательно, в данном случае решений для $b$ нет.

3) Вершина параболы лежит правее отрезка $[-1, 1]$: $t_v > 1$.$b + 2 > 1 \implies b > -1$.В этом случае функция $g(t)$ убывает на всем отрезке $[-1, 1]$, и ее наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, то есть в точке $t = 1$.Требуется выполнение условия $g(1) > 0$:$g(1) = 1^2 - 2(b+2)(1) + b^2 + 4b + 1 = 1 - 2b - 4 + b^2 + 4b + 1 = b^2 + 2b - 2$.Решим неравенство $b^2 + 2b - 2 > 0$. Корни уравнения $b^2 + 2b - 2 = 0$ равны $b_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.Следовательно, неравенство выполняется при $b < -1 - \sqrt{3}$ или $b > -1 + \sqrt{3}$.С учетом условия $b > -1$, получаем решение для этого случая: $b > -1 + \sqrt{3}$.

Объединяя результаты, полученные в случаях 1 и 3, находим все значения $b$, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $b \in (-\infty; -3 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.