Номер 1108, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1108, страница 352.

Условие.

1108. График функции $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$, $c > 0$, пересекает ось ординат в точке $D$ и имеет ровно две общие точки $A$ и $B$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $B$, проходит через точку $D$. Найти $a, b, c$, если площадь треугольника $ABD$ равна $1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дана функция $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$, где $c > 0$.

1. Определение координат точек

Точка $D$ является точкой пересечения графика с осью ординат. Ее абсцисса равна $x=0$. Найдем ординату: $y(0) = -0^3 + a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Таким образом, координаты точки $D$ — это $(0, c)$. Так как по условию $c > 0$, точка $D$ лежит на положительной части оси ординат.

Точки $A$ и $B$ являются точками пересечения графика с осью абсцисс, поэтому их ординаты равны нулю. Пусть их абсциссы равны $x_A$ и $x_B$. Итак, $A(x_A, 0)$ и $B(x_B, 0)$.

2. Анализ условия о двух точках пересечения с осью абсцисс

Кубическая функция $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$ имеет ровно две общие точки с осью абсцисс. Это означает, что уравнение $-x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно два различных действительных корня. Для кубического многочлена это возможно только в том случае, если один из корней является корнем кратности 2 (двойной корень), а другой — корнем кратности 1 (простой корень).

Графически это означает, что в одной из точек ($A$ или $B$) график функции касается оси абсцисс, а в другой — пересекает ее. Точка касания является точкой локального экстремума, и в ней производная функции равна нулю: $y'(x) = 0$.

3. Использование условия о касательной

Прямая, касающаяся графика в точке $B(x_B, 0)$, проходит через точку $D(0, c)$. Найдем производную функции: $y'(x) = -3x^2 + 2ax + b$. Уравнение касательной к графику в точке с абсциссой $x_B$: $Y - y(x_B) = y'(x_B)(X - x_B)$. Поскольку $B(x_B, 0)$ лежит на графике, $y(x_B) = 0$. Уравнение касательной принимает вид: $Y = y'(x_B)(X - x_B)$.

Так как эта прямая проходит через точку $D(0, c)$, подставим ее координаты ($X=0, Y=c$) в уравнение касательной: $c = y'(x_B)(0 - x_B) = -x_B \cdot y'(x_B)$. $c = -x_B(-3x_B^2 + 2ax_B + b) = 3x_B^3 - 2ax_B^2 - bx_B$.

Также точка $B(x_B, 0)$ принадлежит графику функции, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению функции: $y(x_B) = -x_B^3 + ax_B^2 + bx_B + c = 0$. Отсюда $c = x_B^3 - ax_B^2 - bx_B$.

Приравняем два полученных выражения для $c$: $3x_B^3 - 2ax_B^2 - bx_B = x_B^3 - ax_B^2 - bx_B$ $2x_B^3 - ax_B^2 = 0$ $x_B^2(2x_B - a) = 0$.

Это уравнение дает два возможных решения: $x_B = 0$ или $x_B = a/2$. Если $x_B = 0$, то точка $B$ находится в начале координат. Тогда $y(0) = c = 0$. Это противоречит условию $c > 0$. Следовательно, $x_B = a/2$.

4. Определение корней и коэффициентов

Теперь определим, какая из точек, $A$ или $B$, является точкой касания.

Предположим, что $B(a/2, 0)$ — точка касания. Тогда в этой точке производная должна быть равна нулю: $y'(a/2) = 0$. $y'(a/2) = -3(a/2)^2 + 2a(a/2) + b = -3a^2/4 + a^2 + b = a^2/4 + b$. $a^2/4 + b = 0 \implies b = -a^2/4$. Подставим $x_B = a/2$ и $b = -a^2/4$ в уравнение $y(x_B) = 0$: $-(a/2)^3 + a(a/2)^2 + (-a^2/4)(a/2) + c = 0$ $-a^3/8 + a^3/4 - a^3/8 + c = 0$ $0 + c = 0 \implies c = 0$. Это снова противоречит условию $c > 0$. Значит, $B$ не является точкой касания.

Следовательно, точкой касания является точка $A$, а $B$ — точка простого пересечения. Это означает, что $x_A$ — двойной корень уравнения $y(x)=0$, а $x_B$ — простой корень. Тогда многочлен $y(x)$ можно представить в виде: $y(x) = -(x - x_A)^2(x - x_B)$. Раскроем скобки: $y(x) = -(x^2 - 2x_A x + x_A^2)(x - x_B) = -(x^3 - x_B x^2 - 2x_A x^2 + 2x_A x_B x + x_A^2 x - x_A^2 x_B)$ $y(x) = -x^3 + (2x_A + x_B)x^2 - (x_A^2 + 2x_A x_B)x + x_A^2 x_B$.

Сравнивая коэффициенты с исходной функцией $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$, получаем систему: $a = 2x_A + x_B$ $b = -(x_A^2 + 2x_A x_B)$ $c = x_A^2 x_B$

Мы уже знаем, что $x_B = a/2$. Подставим это в первое уравнение: $a = 2x_A + a/2 \implies a/2 = 2x_A \implies x_A = a/4$.

Теперь выразим коэффициенты $b$ и $c$ через $a$: $b = -((a/4)^2 + 2(a/4)(a/2)) = -(a^2/16 + a^2/4) = -(a^2/16 + 4a^2/16) = -5a^2/16$. $c = (a/4)^2(a/2) = (a^2/16)(a/2) = a^3/32$. Из условия $c > 0$ следует, что $a^3/32 > 0$, а значит $a > 0$.

5. Использование условия о площади треугольника

Площадь треугольника $ABD$ равна 1. Координаты его вершин: $A(x_A, 0) = (a/4, 0)$ $B(x_B, 0) = (a/2, 0)$ $D(0, c) = (0, a^3/32)$

Основание треугольника $AB$ лежит на оси абсцисс, его длина равна: $|AB| = |x_B - x_A| = |a/2 - a/4| = |a/4|$. Так как $a > 0$, длина основания равна $a/4$.

Высота треугольника, проведенная из вершины $D$ к основанию $AB$, равна ординате точки $D$, то есть $c$. Высота $h = c = a^3/32$.

Площадь треугольника $S_{ABD}$ вычисляется по формуле: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{a^3}{32} = \frac{a^4}{256}$.

По условию площадь равна 1: $\frac{a^4}{256} = 1 \implies a^4 = 256$. Поскольку $256 = 4^4$ и мы знаем, что $a>0$, единственным решением является $a=4$.

6. Вычисление $b$ и $c$

Теперь, зная $a=4$, находим значения $b$ и $c$: $b = -\frac{5a^2}{16} = -\frac{5 \cdot 4^2}{16} = -\frac{5 \cdot 16}{16} = -5$. $c = \frac{a^3}{32} = \frac{4^3}{32} = \frac{64}{32} = 2$.

Итак, мы нашли все коэффициенты: $a=4$, $b=-5$, $c=2$.

Ответ: $a=4$, $b=-5$, $c=2$.