Номер 1111, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1111, страница 352.

Условие.

1111. Парабола $y = x^2 + px + q$ пересекает прямую $y = 2x - 3$ в точке с абсциссой 1. При каких значениях $p$ и $q$ расстояние от вершины параболы до оси $Ox$ является наименьшим? Найти это расстояние.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку парабола $y = x^2 + px + q$ и прямая $y = 2x - 3$ пересекаются в точке с абсциссой $x=1$, их значения $y$ в этой точке должны быть равны. Найдем ординату точки пересечения по уравнению прямой: $y = 2(1) - 3 = -1$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(1, -1)$. Эта точка лежит на параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы: $-1 = (1)^2 + p(1) + q$ $-1 = 1 + p + q$ Отсюда получаем связь между $p$ и $q$: $q = -p - 2$.

Далее найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины для параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Для нашей параболы $a=1$ и $b=p$, поэтому: $x_в = -\frac{p}{2}$.

Ордината вершины $y_в$ — это значение параболы в точке $x_в$: $y_в = (x_в)^2 + p(x_в) + q = (-\frac{p}{2})^2 + p(-\frac{p}{2}) + q = \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{2} + q = -\frac{p^2}{4} + q$.

Теперь подставим в это выражение найденную ранее зависимость $q = -p - 2$: $y_в = -\frac{p^2}{4} + (-p - 2) = -\frac{p^2}{4} - p - 2$.

Расстояние от вершины параболы до оси Ox равно модулю ее ординаты, то есть $d = |y_в|$. Нам нужно найти наименьшее значение этого расстояния: $d(p) = |-\frac{p^2}{4} - p - 2|$.

Чтобы найти минимум этого выражения, исследуем функцию $f(p) = -\frac{p^2}{4} - p - 2$, стоящую под знаком модуля. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $p^2$ отрицателен). Максимум этой функции достигается в ее вершине. Абсцисса вершины: $p_{вершины} = -\frac{-1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -2$.

Максимальное значение функции $f(p)$ равно: $f(-2) = -\frac{(-2)^2}{4} - (-2) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1$.

Поскольку максимальное значение $f(p)$ равно -1, то $f(p) \le -1$ для всех $p$, то есть функция всегда отрицательна. Следовательно, модуль $|f(p)|$ раскрывается с противоположным знаком: $d(p) = |f(p)| = -f(p) = -(-\frac{p^2}{4} - p - 2) = \frac{p^2}{4} + p + 2$.

Теперь задача сводится к поиску минимума функции $d(p) = \frac{p^2}{4} + p + 2$. Это парабола с ветвями вверх, ее минимум также находится в вершине, абсцисса которой: $p_{вершины} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -2$.

Таким образом, мы нашли значение $p$, при котором расстояние от вершины параболы до оси Ox минимально. Теперь можем ответить на вопросы задачи.

При каких значениях p и q расстояние от вершины параболы до оси Ox является наименьшим?

Наименьшее расстояние достигается при $p=-2$. Соответствующее значение $q$ находим из ранее полученного соотношения $q = -p - 2$: $q = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$. Ответ: при $p=-2$ и $q=0$.

Найти это расстояние.

Наименьшее расстояние $d_{min}$ — это значение функции $d(p)$ при $p=-2$: $d_{min} = \frac{(-2)^2}{4} + (-2) + 2 = \frac{4}{4} - 2 + 2 = 1$. Ответ: 1.