Номер 1115, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1115, страница 352.

Условие.

1115. Через точку графика функции $y = \sqrt{x}$ с абсциссой $a$, где $\frac{1}{2} \le a \le 2$, проведена касательная к этому графику. Найти значение $a$, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью $Ox$ и прямой $x = 3$, будет наименьшей, и вычислить эту площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1. Нахождение уравнения касательной
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. В нашем случае, функция $f(x) = \sqrt{x}$, а точка касания имеет абсциссу $x_0 = a$. Найдем значение функции в этой точке: $f(a) = \sqrt{a}$. Теперь найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Значение производной в точке касания: $f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $y = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x - a)$ Упростим это выражение: $y = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} - \frac{a}{2\sqrt{a}} = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{x}{2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2}$. Итак, уравнение касательной: $y = \frac{x + a}{2\sqrt{a}}$.

2. Определение вершин треугольника
Треугольник ограничен тремя линиями:
1. Касательной: $y = \frac{x + a}{2\sqrt{a}}$
2. Осью Ox: $y = 0$
3. Прямой: $x = 3$
Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих линий.
Вершина A (пересечение касательной и оси Ox):
Приравниваем $y$ к нулю: $0 = \frac{x + a}{2\sqrt{a}}$. Так как $a \ge \frac{1}{2}$, знаменатель не равен нулю. Следовательно, $x + a = 0$, откуда $x = -a$. Координаты вершины A: $(-a, 0)$.
Вершина B (пересечение прямой $x=3$ и оси Ox):
Координаты этой точки очевидны: $(3, 0)$.
Вершина C (пересечение касательной и прямой $x=3$):
Подставляем $x=3$ в уравнение касательной: $y = \frac{3 + a}{2\sqrt{a}}$. Координаты вершины C: $(3, \frac{3+a}{2\sqrt{a}})$.

3. Выражение площади треугольника как функции от a
Треугольник ABC является прямоугольным, так как одна из его сторон (BC) параллельна оси Oy, а другая (AB) лежит на оси Ox.
Длина основания AB равна разности абсцисс точек B и A: $L_{AB} = 3 - (-a) = 3 + a$.
Высота треугольника равна ординате точки C: $h = \frac{3+a}{2\sqrt{a}}$.
Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S(a) = \frac{1}{2} \cdot (3+a) \cdot \frac{3+a}{2\sqrt{a}} = \frac{(3+a)^2}{4\sqrt{a}}$.

4. Нахождение значения a, при котором площадь наименьшая
Нам нужно найти минимум функции $S(a) = \frac{(3+a)^2}{4\sqrt{a}}$ на отрезке $[\frac{1}{2}, 2]$. Для этого найдем производную $S'(a)$ по правилу дифференцирования частного:
$S'(a) = \frac{1}{4} \cdot \frac{( (3+a)^2 )' \cdot \sqrt{a} - (3+a)^2 \cdot (\sqrt{a})'}{(\sqrt{a})^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2(3+a) \cdot \sqrt{a} - (3+a)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}}}{a}$.
Упростим выражение в числителе, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{a}$:
$S'(a) = \frac{1}{4a} \cdot \frac{2(3+a)\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{a} - (3+a)^2}{2\sqrt{a}} = \frac{1}{8a\sqrt{a}} \cdot (4a(3+a) - (3+a)^2)$.
Вынесем общий множитель $(3+a)$:
$S'(a) = \frac{3+a}{8a\sqrt{a}} \cdot (4a - (3+a)) = \frac{(3+a)(3a-3)}{8a\sqrt{a}} = \frac{3(a+3)(a-1)}{8a^{3/2}}$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $S'(a) = 0$.
$\frac{3(a+3)(a-1)}{8a^{3/2}} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Так как $a > 0$, то $a+3 > 0$. Следовательно, $a-1=0$, откуда $a=1$.
Точка $a=1$ принадлежит заданному отрезку $[\frac{1}{2}, 2]$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $a \in [\frac{1}{2}, 1)$, $a-1 < 0$, следовательно $S'(a) < 0$, и функция $S(a)$ убывает.
- При $a \in (1, 2]$, $a-1 > 0$, следовательно $S'(a) > 0$, и функция $S(a)$ возрастает.
Таким образом, в точке $a=1$ функция $S(a)$ достигает своего локального и глобального минимума на отрезке $[\frac{1}{2}, 2]$.

5. Вычисление наименьшей площади
Теперь вычислим значение площади при $a=1$:
$S(1) = \frac{(3+1)^2}{4\sqrt{1}} = \frac{4^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: Наименьшая площадь достигается при $a=1$ и равна 4.