Номер 1118, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1118, страница 353.

Условие.

1118. Найти значения $x$, при которых равно нулю значение производной функции:

1) $f(x) = \sin 2x - x;$

2) $f(x) = \cos 2x + 2x;$

3) $f(x) = (2x - 1)^3;$

4) $f(x) = (1 - 3x)^5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = \sin 2x - x$.
Чтобы найти значения $x$, при которых значение производной функции равно нулю, сначала найдем производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\sin 2x$ и правило дифференцирования разности.
Производная от $\sin u$ равна $\cos u \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = 2$.
$f'(x) = (\sin 2x)' - (x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 1 = 2\cos 2x - 1$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$2\cos 2x - 1 = 0$
$2\cos 2x = 1$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решения для $2x$ имеют вид:
$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив обе части на 2, получим значения $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \cos 2x + 2x$.
Найдем производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\cos 2x$ и правило дифференцирования суммы.
Производная от $\cos u$ равна $-\sin u \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = 2$.
$f'(x) = (\cos 2x)' + (2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' + 2 = -2\sin 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю:
$-2\sin 2x + 2 = 0$
$2 = 2\sin 2x$
$\sin 2x = 1$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решения для $2x$ имеют вид:
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив обе части на 2, получим значения $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = (2x - 1)^3$.
Это степенная функция, аргумент которой является другой функцией. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = 2x - 1$ и $n = 3$. Производная $u'$ равна $(2x-1)' = 2$.
$f'(x) = 3(2x - 1)^{3-1} \cdot (2x - 1)' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$.
Приравняем производную к нулю:
$6(2x - 1)^2 = 0$
$(2x - 1)^2 = 0$
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = (1 - 3x)^5$.
Так же, как и в предыдущем пункте, используем правило дифференцирования сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = 1 - 3x$ и $n = 5$. Производная $u'$ равна $(1 - 3x)' = -3$.
$f'(x) = 5(1 - 3x)^{5-1} \cdot (1 - 3x)' = 5(1 - 3x)^4 \cdot (-3) = -15(1 - 3x)^4$.
Приравняем производную к нулю:
$-15(1 - 3x)^4 = 0$
$(1 - 3x)^4 = 0$
$1 - 3x = 0$
$1 = 3x$
$x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.