Номер 1117, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1117, страница 353.

Условие.

1117. Найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x)=x^3 - \frac{x^2}{2} + x$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

2) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = x^{-3} - \frac{2}{x^2} + 3x$, $x_0 = 3$;

4) $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + x$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.
Для нахождения значения производной функции в точке $x_0$, сначала найдем общую формулу производной $f'(x)$.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций.
$f'(x) = (x^3)' - (\frac{1}{2}x^2)' + (x)' = 3x^{3-1} - \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} = 3x^2 - x + 1$.
Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{3}$ в полученное выражение для производной:
$f'(\frac{1}{3}) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{3}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1 = 1$.
Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$. Их производные: $u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = (x)' = 1$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2}$.
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$f'(1) = \frac{1 - 0}{1} = 1$.
Ответ: 1

3) Дана функция $f(x) = x^{-3} - \frac{2}{x^2} + 3x$ и точка $x_0 = 3$.
Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: $f(x) = x^{-3} - 2x^{-2} + 3x$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{-3})' - (2x^{-2})' + (3x)' = -3x^{-3-1} - 2(-2)x^{-2-1} + 3 = -3x^{-4} + 4x^{-3} + 3$.
Запишем производную с положительными степенями:
$f'(x) = -\frac{3}{x^4} + \frac{4}{x^3} + 3$.
Подставим значение $x_0 = 3$ в выражение для производной:
$f'(3) = -\frac{3}{3^4} + \frac{4}{3^3} + 3 = -\frac{3}{81} + \frac{4}{27} + 3$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$f'(3) = -\frac{1}{27} + \frac{4}{27} + 3 = \frac{-1+4}{27} + 3 = \frac{3}{27} + 3 = \frac{1}{9} + 3 = \frac{1}{9} + \frac{27}{9} = \frac{28}{9}$.
Ответ: $\frac{28}{9}$

4) Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Функцию можно представить как $f(x) = \cot x$. Производная котангенса равна $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
В качестве альтернативы, воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$.
Производные: $u'(x) = -\sin x$, $v'(x) = \cos x$.
$f'(x) = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}$.
Значение синуса для этого угла: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $\sin^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение в формулу производной:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{1/2} = -2$.
Ответ: -2