Страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1117. Найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x)=x^3 - \frac{x^2}{2} + x$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

2) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = x^{-3} - \frac{2}{x^2} + 3x$, $x_0 = 3$;

4) $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + x$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.
Для нахождения значения производной функции в точке $x_0$, сначала найдем общую формулу производной $f'(x)$.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций.
$f'(x) = (x^3)' - (\frac{1}{2}x^2)' + (x)' = 3x^{3-1} - \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} = 3x^2 - x + 1$.
Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{3}$ в полученное выражение для производной:
$f'(\frac{1}{3}) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{3}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1 = 1$.
Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$. Их производные: $u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = (x)' = 1$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2}$.
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$f'(1) = \frac{1 - 0}{1} = 1$.
Ответ: 1

3) Дана функция $f(x) = x^{-3} - \frac{2}{x^2} + 3x$ и точка $x_0 = 3$.
Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: $f(x) = x^{-3} - 2x^{-2} + 3x$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{-3})' - (2x^{-2})' + (3x)' = -3x^{-3-1} - 2(-2)x^{-2-1} + 3 = -3x^{-4} + 4x^{-3} + 3$.
Запишем производную с положительными степенями:
$f'(x) = -\frac{3}{x^4} + \frac{4}{x^3} + 3$.
Подставим значение $x_0 = 3$ в выражение для производной:
$f'(3) = -\frac{3}{3^4} + \frac{4}{3^3} + 3 = -\frac{3}{81} + \frac{4}{27} + 3$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$f'(3) = -\frac{1}{27} + \frac{4}{27} + 3 = \frac{-1+4}{27} + 3 = \frac{3}{27} + 3 = \frac{1}{9} + 3 = \frac{1}{9} + \frac{27}{9} = \frac{28}{9}$.
Ответ: $\frac{28}{9}$

4) Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Функцию можно представить как $f(x) = \cot x$. Производная котангенса равна $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
В качестве альтернативы, воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$.
Производные: $u'(x) = -\sin x$, $v'(x) = \cos x$.
$f'(x) = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}$.
Значение синуса для этого угла: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $\sin^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение в формулу производной:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{1/2} = -2$.
Ответ: -2

1118. Найти значения $x$, при которых равно нулю значение производной функции:

1) $f(x) = \sin 2x - x;$

2) $f(x) = \cos 2x + 2x;$

3) $f(x) = (2x - 1)^3;$

4) $f(x) = (1 - 3x)^5.$

1) Дана функция $f(x) = \sin 2x - x$.
Чтобы найти значения $x$, при которых значение производной функции равно нулю, сначала найдем производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\sin 2x$ и правило дифференцирования разности.
Производная от $\sin u$ равна $\cos u \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = 2$.
$f'(x) = (\sin 2x)' - (x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 1 = 2\cos 2x - 1$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$2\cos 2x - 1 = 0$
$2\cos 2x = 1$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решения для $2x$ имеют вид:
$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив обе части на 2, получим значения $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \cos 2x + 2x$.
Найдем производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\cos 2x$ и правило дифференцирования суммы.
Производная от $\cos u$ равна $-\sin u \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = 2$.
$f'(x) = (\cos 2x)' + (2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' + 2 = -2\sin 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю:
$-2\sin 2x + 2 = 0$
$2 = 2\sin 2x$
$\sin 2x = 1$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решения для $2x$ имеют вид:
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив обе части на 2, получим значения $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = (2x - 1)^3$.
Это степенная функция, аргумент которой является другой функцией. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = 2x - 1$ и $n = 3$. Производная $u'$ равна $(2x-1)' = 2$.
$f'(x) = 3(2x - 1)^{3-1} \cdot (2x - 1)' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$.
Приравняем производную к нулю:
$6(2x - 1)^2 = 0$
$(2x - 1)^2 = 0$
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = (1 - 3x)^5$.
Так же, как и в предыдущем пункте, используем правило дифференцирования сложной функции: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = 1 - 3x$ и $n = 5$. Производная $u'$ равна $(1 - 3x)' = -3$.
$f'(x) = 5(1 - 3x)^{5-1} \cdot (1 - 3x)' = 5(1 - 3x)^4 \cdot (-3) = -15(1 - 3x)^4$.
Приравняем производную к нулю:
$-15(1 - 3x)^4 = 0$
$(1 - 3x)^4 = 0$
$1 - 3x = 0$
$1 = 3x$
$x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

1119. Показать, что $f'(1) = f'(0)$, если $f(x) = (2x - 3)(3x^2 + 1)$.

Для того чтобы показать, что $f'(1) = f'(0)$, необходимо найти производную функции $f(x)$ и вычислить ее значения в точках $x=1$ и $x=0$.

Дана функция $f(x) = (2x - 3)(3x^2 + 1)$.

Сначала упростим выражение для функции $f(x)$, раскрыв скобки:

$f(x) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot 1 - 3 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 1 = 6x^3 + 2x - 9x^2 - 3$

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней $x$:

$f(x) = 6x^3 - 9x^2 + 2x - 3$

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (6x^3 - 9x^2 + 2x - 3)'$

$f'(x) = 6 \cdot (3x^2) - 9 \cdot (2x) + 2 \cdot 1 - 0$

$f'(x) = 18x^2 - 18x + 2$

Далее, вычислим значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = 18(1)^2 - 18(1) + 2 = 18 \cdot 1 - 18 + 2 = 18 - 18 + 2 = 2$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 0$:

$f'(0) = 18(0)^2 - 18(0) + 2 = 18 \cdot 0 - 0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $f'(1) = 2$ и $f'(0) = 2$.

Следовательно, равенство $f'(1) = f'(0)$ выполняется, что и требовалось показать.

Ответ: Поскольку $f'(1) = 2$ и $f'(0) = 2$, равенство $f'(1) = f'(0)$ доказано.

1120. Найти значения $x$, при которых значения производной

функции

$f(x) = x^3 - 1.5x^2 - 18x + \sqrt{3}$

отрицательны.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых значения производной функции отрицательны, необходимо выполнить два шага: сначала найти производную функции, а затем решить неравенство $f'(x) < 0$.

Исходная функция: $f(x) = x^3 - 1,5x^2 - 18x + \sqrt{3}$.

1. Находим производную $f'(x)$, применяя стандартные правила дифференцирования (производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производная константы равна нулю):

$f'(x) = (x^3)' - (1,5x^2)' - (18x)' + (\sqrt{3})' = 3x^{3-1} - 1,5 \cdot 2x^{2-1} - 18x^{1-1} + 0$

$f'(x) = 3x^2 - 3x - 18$

2. Теперь решаем неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 3x - 18 < 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 3:

$x^2 - x - 6 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Это можно сделать, например, по теореме Виета: произведение корней равно $-6$, а их сумма равна $1$. Следовательно, корнями уравнения являются числа $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Графиком квадратичной функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Это означает, что функция принимает отрицательные значения на интервале между своими корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-2; 3)$.

Ответ: $x \in (-2; 3)$

1121. Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м/с. Найти скорость пули в момент t = 10 с и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения пули $h = v_0t - 4.9t^2$.

Найти скорость пули в момент t = 10 с

Уравнение движения пули задано формулой $h(t) = v_0t - 4,9t^2$, где $h$ - высота в метрах, $t$ - время в секундах, а $v_0$ - начальная скорость.

Из условия задачи известно, что начальная скорость пули $v_0 = 360$ м/с. Подставим это значение в уравнение движения:

$h(t) = 360t - 4,9t^2$

Скорость $v(t)$ является мгновенной скоростью и находится как первая производная от высоты (координаты) $h(t)$ по времени $t$:

$v(t) = h'(t) = (360t - 4,9t^2)'$

Вычисляем производную:

$v(t) = (360t)' - (4,9t^2)' = 360 \cdot 1 - 4,9 \cdot 2t = 360 - 9,8t$

Теперь найдем скорость пули в момент времени $t = 10$ с:

$v(10) = 360 - 9,8 \cdot 10 = 360 - 98 = 262$ м/с.

Ответ: скорость пули в момент времени $t=10$ с равна 262 м/с.

Определить, сколько времени пуля поднимается вверх

Пуля поднимается вверх до тех пор, пока ее вертикальная скорость положительна. В наивысшей точке траектории скорость пули становится равной нулю, после чего она начинает падать вниз (ее скорость становится отрицательной). Таким образом, чтобы найти время подъема, нужно приравнять скорость $v(t)$ к нулю.

Используем полученное ранее уравнение для скорости:

$v(t) = 360 - 9,8t$

Приравниваем к нулю и решаем уравнение относительно $t$:

$360 - 9,8t = 0$

$9,8t = 360$

$t = \frac{360}{9,8} = \frac{3600}{98} = \frac{1800}{49}$

Для практического понимания можно вычислить приближенное значение:

$t \approx 36,73$ с.

Ответ: пуля поднимается вверх в течение $\frac{1800}{49}$ с (приблизительно 36,73 с).

1122. Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени вращения. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.

Согласно условию задачи, угол поворота колеса $\phi$ прямо пропорционален кубу времени вращения $t$. Это можно записать в виде формулы:

$\phi(t) = k \cdot t^3$

где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Известно, что первый оборот был сделан за время $t_1 = 2$ с. Один оборот соответствует углу поворота $\phi_1 = 2\pi$ радиан. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти коэффициент $k$:

$2\pi = k \cdot (2)^3$

$2\pi = k \cdot 8$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ рад/с³

Таким образом, закон вращения колеса имеет вид:

$\phi(t) = \frac{\pi}{4} t^3$

Угловая скорость $\omega$ является первой производной от угла поворота по времени:

$\omega(t) = \frac{d\phi(t)}{dt}$

Найдем производную от полученного выражения для $\phi(t)$:

$\omega(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{\pi}{4} t^3\right) = \frac{\pi}{4} \cdot 3t^2 = \frac{3\pi}{4} t^2$

Теперь определим угловую скорость колеса через $t_2 = 4$ с после начала вращения, подставив это значение времени в формулу для $\omega(t)$:

$\omega(4) = \frac{3\pi}{4} \cdot (4)^2 = \frac{3\pi}{4} \cdot 16 = 3\pi \cdot 4 = 12\pi$ рад/с

Ответ: $12\pi$ рад/с.

1123. Трудоёмкость (объём) комплекса работ $Q$ измеряется в человеко-часах (чел.-ч). Бригада осваивает объект так, что выполненный объём работ как функция времени описывается формулой $Q = 160t$ чел.-ч (где $t$ — время в сутках). Какова скорость освоения объёма работ (интенсивность) $q$ чел.-ч в сутки? Сколько человек в бригаде, если суточная норма рабочего 8 чел.-ч в сутки?

Скорость освоения объёма работ (интенсивность) q Скорость освоения объёма работ, или интенсивность $q$, представляет собой производную от выполненного объёма работ $Q$ по времени $t$. Объём работ задан функцией $Q(t) = 160t$, где $Q$ измеряется в человеко-часах (чел.-ч), а $t$ — в сутках. Для нахождения скорости $q$ необходимо вычислить производную функции $Q(t)$ по переменной $t$:
$q = \frac{dQ}{dt} = \frac{d(160t)}{dt} = 160$
Таким образом, скорость освоения объёма работ составляет 160 чел.-ч в сутки.
Ответ: 160 чел.-ч в сутки.

Количество человек в бригаде Общая скорость работы бригады $q$ равна суммарной производительности всех её работников. Чтобы определить количество человек в бригаде $N$, необходимо общую скорость работы бригады разделить на суточную норму одного рабочего.
Известно, что:
- Общая скорость работы бригады $q = 160$ чел.-ч в сутки.
- Суточная норма одного рабочего составляет 8 чел.-ч в сутки.
Вычисляем количество человек $N$:
$N = \frac{\text{общая скорость работы бригады}}{\text{суточная норма рабочего}} = \frac{160 \text{ чел.-ч/сутки}}{8 \text{ чел.-ч/сутки}} = 20$
Следовательно, в бригаде работает 20 человек.
Ответ: 20 человек.

1124. Дневная производительность труда (за 7 рабочих часов) рабочего машиностроительного завода описывается функцией $y = -0,09t^2 + 0,28t + 10,06$, где $t$ — время в часах, $y$ — количество продукции. Сколько продукции производит рабочий за один год (260 рабочих дней)?

Для решения задачи необходимо определить общее количество продукции, произведенной рабочим за один год. Сначала найдем количество продукции за один рабочий день, а затем умножим его на количество рабочих дней в году.

Функция $y = -0,09t^2 + 0,28t + 10,06$ описывает производительность труда, то есть скорость производства продукции в момент времени $t$. Чтобы найти общее количество продукции, произведенной за 7-часовой рабочий день, нужно вычислить определенный интеграл от этой функции в пределах от 0 до 7 часов.

1. Вычисление количества продукции за один день ($P_{день}$)

Количество продукции за день равно интегралу от функции производительности по времени от $t=0$ до $t=7$:

$P_{день} = \int_{0}^{7} (-0,09t^2 + 0,28t + 10,06) dt$

Найдем первообразную $F(t)$ для подынтегральной функции:

$F(t) = \int (-0,09t^2 + 0,28t + 10,06) dt = -0,09 \frac{t^3}{3} + 0,28 \frac{t^2}{2} + 10,06t = -0,03t^3 + 0,14t^2 + 10,06t$

Теперь вычислим значение определенного интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$P_{день} = F(7) - F(0) = (-0,03 \cdot 7^3 + 0,14 \cdot 7^2 + 10,06 \cdot 7) - (-0,03 \cdot 0^3 + 0,14 \cdot 0^2 + 10,06 \cdot 0)$

$P_{день} = (-0,03 \cdot 343 + 0,14 \cdot 49 + 70,42) - 0$

$P_{день} = -10,29 + 6,86 + 70,42 = 66,99$

Таким образом, за один рабочий день рабочий производит 66,99 единиц продукции.

2. Вычисление количества продукции за год ($P_{год}$)

В году 260 рабочих дней. Чтобы найти годовую выработку, умножим дневную выработку на количество рабочих дней:

$P_{год} = P_{день} \times 260$

$P_{год} = 66,99 \times 260 = 17417,4$

Ответ: за один год (260 рабочих дней) рабочий производит 17417,4 единиц продукции.

1125. 1) $y = \frac{x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3}{x^3}$

2) $y = \frac{6x \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$

1) Дана функция $y = \frac{x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3}{x^3}$.

Для нахождения производной сначала упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель $x^3$:
$y = \frac{x^5}{x^3} - \frac{3x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{3}{x^3}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$y = x^{5-3} - 3x^{3-3} + 2x^{2-3} - x^{1-3} + 3x^{-3}$
$y = x^2 - 3 + 2x^{-1} - x^{-2} + 3x^{-3}$

Теперь найдем производную $y'$, используя правило дифференцирования суммы функций и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^2 - 3 + 2x^{-1} - x^{-2} + 3x^{-3})'$
$y' = (x^2)' - (3)' + (2x^{-1})' - (x^{-2})' + (3x^{-3})'$
$y' = 2x^{2-1} - 0 + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - (-2)x^{-2-1} + 3 \cdot (-3)x^{-3-1}$
$y' = 2x - 2x^{-2} + 2x^{-3} - 9x^{-4}$

Запишем результат с положительными степенями в знаменателе:
$y' = 2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$

Ответ: $y' = 2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$

2) Дана функция $y = \frac{6x\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$.

Сначала упростим выражение, представив корни в виде степеней с дробными показателями: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$
Подставим эти выражения в исходную функцию:
$y = \frac{6x^1 \cdot x^{1/3}}{x^{1/2}}$

Применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$y = 6x^{(1 + \frac{1}{3}) - \frac{1}{2}} = 6x^{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}}$
Приведем показатели степени к общему знаменателю 6:
$\frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$
Таким образом, функция примет вид:
$y = 6x^{5/6}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(cx^n)' = c \cdot nx^{n-1}$:
$y' = (6x^{5/6})'$
$y' = 6 \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}$
$y' = 5x^{\frac{5}{6} - \frac{6}{6}}$
$y' = 5x^{-1/6}$

Запишем результат, используя знак корня:
$y' = \frac{5}{x^{1/6}} = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$

Ответ: $y' = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$

1126.

1) $y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1}$;

2) $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1}$.

Дана функция $y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1}$. Для нахождения асимптот графика данной функции проведем ее анализ.

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота может существовать в точке, где знаменатель дроби обращается в ноль. Приравняем знаменатель к нулю:

$x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Убедимся, что при этом значении $x$ числитель не равен нулю:

$3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3 \cdot 1 + 2 + 1 = 6 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Наклонная асимптота

Поскольку степень многочлена в числителе (2) на единицу больше степени многочлена в знаменателе (1), у графика функции есть наклонная асимптота вида $y = kx + b$. Коэффициенты $k$ и $b$ находим по формулам:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x(x + 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + x}$.

Разделив числитель и знаменатель на старшую степень $x^2$, получим:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{1} = 3$.

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1} - 3x\right)$.

Приводя к общему знаменателю:

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1 - 3x(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1 - 3x^2 - 3x}{x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-5x + 1}{x + 1}$.

Разделив числитель и знаменатель на $x$:

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-5 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{-5}{1} = -5$.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = 3x - 5$.

Альтернативный способ нахождения наклонной асимптоты — выделение целой части дроби с помощью деления многочленов столбиком. Выполнив деление $3x^2 - 2x + 1$ на $x + 1$, получим:

$\frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1} = 3x - 5 + \frac{6}{x + 1}$.

При $x \to \pm\infty$, слагаемое $\frac{6}{x+1}$ стремится к нулю, значит, график функции приближается к прямой $y = 3x - 5$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -1$, наклонная асимптота $y = 3x - 5$.

Дана функция $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1}$. Найдем асимптоты ее графика.

Вертикальная асимптота

Приравняем знаменатель к нулю:

$2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$.

Проверим значение числителя при $x = -1/2$:

$2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \neq 0$.

Значит, прямая $x = -1/2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота

Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому график имеет наклонную асимптоту $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x(2x + 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{2}{2} = 1$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1 - x(2x + 1)}{2x + 1}$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1 - 2x^2 - x}{2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4x + 1}{2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{-4}{2} = -2$.

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты: $y = x - 2$.

Также можно выделить целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1} = x - 2 + \frac{3}{2x + 1}$.

Поскольку при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{3}{2x+1} \to 0$, график функции стремится к прямой $y = x - 2$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -1/2$, наклонная асимптота $y = x - 2$.

1127. 1) $y=(2x+1)^2 \sqrt{x-1};$

2) $y=x^2 \sqrt[3]{(x+1)^2};$

3) $y=\sin 2x \cos 3x;$

4) $y=x \cos 2x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (2x + 1)^2 \sqrt{x - 1}$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = (2x + 1)^2$ и $v = \sqrt{x - 1} = (x-1)^{1/2}$.

Найдем производные для $u$ и $v$ по отдельности, используя правило производной сложной функции:

$u' = ((2x + 1)^2)' = 2(2x + 1)^{2-1} \cdot (2x + 1)' = 2(2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1)$.

$v' = (\sqrt{x - 1})' = ((x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x-1)^{1/2 - 1} \cdot (x-1)' = \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 4(2x + 1)\sqrt{x - 1} + (2x + 1)^2 \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $2\sqrt{x-1}$ и упростим:

$y' = \frac{4(2x + 1)\sqrt{x - 1} \cdot 2\sqrt{x - 1} + (2x + 1)^2}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{8(2x + 1)(x - 1) + (2x + 1)^2}{2\sqrt{x - 1}}$.

Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ в числителе:

$y' = \frac{(2x + 1)(8(x - 1) + (2x + 1))}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{(2x + 1)(8x - 8 + 2x + 1)}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{(2x + 1)(10x - 7)}{2\sqrt{x - 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{(2x + 1)(10x - 7)}{2\sqrt{x - 1}}$

2) Дана функция $y = x^2 \sqrt[3]{(x + 1)^2}$. Перепишем ее в виде $y = x^2 (x + 1)^{2/3}$.

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^2$ и $v = (x + 1)^{2/3}$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^2)' = 2x$.

$v' = ((x + 1)^{2/3})' = \frac{2}{3}(x + 1)^{2/3 - 1} \cdot (x + 1)' = \frac{2}{3}(x + 1)^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 2x(x + 1)^{2/3} + x^2 \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Приводим к общему знаменателю $3\sqrt[3]{x + 1}$:

$y' = \frac{2x(x + 1)^{2/3} \cdot 3\sqrt[3]{x + 1} + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{6x(x + 1)^{2/3}(x + 1)^{1/3} + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{6x(x + 1) + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Упрощаем числитель:

$y' = \frac{6x^2 + 6x + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{8x^2 + 6x}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{2x(4x + 3)}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{2x(4x + 3)}{3\sqrt[3]{x + 1}}$

3) Для нахождения производной функции $y = \sin(2x)\cos(3x)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sin(2x)$ и $v = \cos(3x)$.

Найдем производные для $u$ и $v$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

$v' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь подставим производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2\cos(2x))(\cos(3x)) + (\sin(2x))(-3\sin(3x))$.

$y' = 2\cos(2x)\cos(3x) - 3\sin(2x)\sin(3x)$.

Ответ: $y' = 2\cos(2x)\cos(3x) - 3\sin(2x)\sin(3x)$

4) Для функции $y = x\cos(2x)$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x$ и $v = \cos(2x)$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$.

$v' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos(2x) + x(-2\sin(2x))$.

$y' = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$.

Ответ: $y' = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$