Номер 1127, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1127, страница 353.

Условие.

1127. 1) $y=(2x+1)^2 \sqrt{x-1};$

2) $y=x^2 \sqrt[3]{(x+1)^2};$

3) $y=\sin 2x \cos 3x;$

4) $y=x \cos 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = (2x + 1)^2 \sqrt{x - 1}$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = (2x + 1)^2$ и $v = \sqrt{x - 1} = (x-1)^{1/2}$.

Найдем производные для $u$ и $v$ по отдельности, используя правило производной сложной функции:

$u' = ((2x + 1)^2)' = 2(2x + 1)^{2-1} \cdot (2x + 1)' = 2(2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1)$.

$v' = (\sqrt{x - 1})' = ((x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x-1)^{1/2 - 1} \cdot (x-1)' = \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 4(2x + 1)\sqrt{x - 1} + (2x + 1)^2 \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $2\sqrt{x-1}$ и упростим:

$y' = \frac{4(2x + 1)\sqrt{x - 1} \cdot 2\sqrt{x - 1} + (2x + 1)^2}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{8(2x + 1)(x - 1) + (2x + 1)^2}{2\sqrt{x - 1}}$.

Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ в числителе:

$y' = \frac{(2x + 1)(8(x - 1) + (2x + 1))}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{(2x + 1)(8x - 8 + 2x + 1)}{2\sqrt{x - 1}} = \frac{(2x + 1)(10x - 7)}{2\sqrt{x - 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{(2x + 1)(10x - 7)}{2\sqrt{x - 1}}$

2) Дана функция $y = x^2 \sqrt[3]{(x + 1)^2}$. Перепишем ее в виде $y = x^2 (x + 1)^{2/3}$.

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^2$ и $v = (x + 1)^{2/3}$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^2)' = 2x$.

$v' = ((x + 1)^{2/3})' = \frac{2}{3}(x + 1)^{2/3 - 1} \cdot (x + 1)' = \frac{2}{3}(x + 1)^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 2x(x + 1)^{2/3} + x^2 \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Приводим к общему знаменателю $3\sqrt[3]{x + 1}$:

$y' = \frac{2x(x + 1)^{2/3} \cdot 3\sqrt[3]{x + 1} + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{6x(x + 1)^{2/3}(x + 1)^{1/3} + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{6x(x + 1) + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Упрощаем числитель:

$y' = \frac{6x^2 + 6x + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{8x^2 + 6x}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{2x(4x + 3)}{3\sqrt[3]{x + 1}}$.

Ответ: $y' = \frac{2x(4x + 3)}{3\sqrt[3]{x + 1}}$

3) Для нахождения производной функции $y = \sin(2x)\cos(3x)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sin(2x)$ и $v = \cos(3x)$.

Найдем производные для $u$ и $v$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

$v' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь подставим производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2\cos(2x))(\cos(3x)) + (\sin(2x))(-3\sin(3x))$.

$y' = 2\cos(2x)\cos(3x) - 3\sin(2x)\sin(3x)$.

Ответ: $y' = 2\cos(2x)\cos(3x) - 3\sin(2x)\sin(3x)$

4) Для функции $y = x\cos(2x)$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x$ и $v = \cos(2x)$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$.

$v' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos(2x) + x(-2\sin(2x))$.

$y' = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$.

Ответ: $y' = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$