Номер 1128, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1128, страница 354.

Условие.

1128. Найти производную функции $y = \log_3 x + 4(7x - 4)$ в точке $x = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти производную функции $y = \log_{3x+4}(7x-4)$, сначала необходимо перейти к новому основанию логарифма. Удобнее всего использовать натуральный логарифм ($\ln$). Формула перехода к новому основанию выглядит так: $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$.

Применим эту формулу к нашей функции:

$y = \frac{\ln(7x-4)}{\ln(3x+4)}$

Теперь мы можем найти производную $y'$ этой функции, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.

Пусть $f(x) = \ln(7x-4)$ и $g(x) = \ln(3x+4)$.

Найдём производные $f'(x)$ и $g'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции, $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = (\ln(7x-4))' = \frac{(7x-4)'}{7x-4} = \frac{7}{7x-4}$

$g'(x) = (\ln(3x+4))' = \frac{(3x+4)'}{3x+4} = \frac{3}{3x+4}$

Подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{\frac{7}{7x-4} \cdot \ln(3x+4) - \ln(7x-4) \cdot \frac{3}{3x+4}}{[\ln(3x+4)]^2}$

Теперь необходимо найти значение производной в точке $x=2$. Подставим $x=2$ в полученное выражение для $y'$.

Сначала вычислим значения выражений, входящих в формулу, при $x=2$:

$7x - 4 = 7 \cdot 2 - 4 = 14 - 4 = 10$

$3x + 4 = 3 \cdot 2 + 4 = 6 + 4 = 10$

Теперь подставим эти значения в выражение для производной:

$y'(2) = \frac{\frac{7}{10} \cdot \ln(10) - \ln(10) \cdot \frac{3}{10}}{[\ln(10)]^2}$

Упростим полученное выражение:

$y'(2) = \frac{(\frac{7}{10} - \frac{3}{10}) \cdot \ln(10)}{[\ln(10)]^2} = \frac{\frac{4}{10} \cdot \ln(10)}{[\ln(10)]^2}$

Сократим $\ln(10)$ в числителе и знаменателе:

$y'(2) = \frac{\frac{4}{10}}{\ln(10)} = \frac{4}{10\ln(10)} = \frac{2}{5\ln(10)}$

Ответ: $\frac{2}{5\ln(10)}$