Номер 1130, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1130, страница 354.

Условие.

1130. Определить знак числа $f'(2)$, если:

1) $f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$

2) $f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$ найдем ее производную. Это произведение двух функций, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{3-2x}$ и $v(x) = x^2$.

Найдем производную первого сомножителя, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = (e^{3-2x})' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = -2e^{3-2x}$.

Производная второго сомножителя: $v'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$f'(x) = u'v + uv' = (-2e^{3-2x}) \cdot x^2 + e^{3-2x} \cdot (2x) = 2xe^{3-2x} - 2x^2e^{3-2x}$.

Для удобства вынесем общий множитель за скобки: $f'(x) = 2x(1-x)e^{3-2x}$.

Подставим значение $x=2$ в выражение для производной:

$f'(2) = 2 \cdot 2 \cdot (1-2) \cdot e^{3-2 \cdot 2} = 4 \cdot (-1) \cdot e^{3-4} = -4e^{-1} = -\frac{4}{e}$.

Число $e$ (основание натурального логарифма) является положительной константой ($e \approx 2.718$). Следовательно, $-\frac{4}{e}$ — это отрицательное число. Значит, $f'(2) < 0$.

Ответ: отрицательный.

2) Для функции $f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}$ сначала преобразуем ее для удобства дифференцирования: $f(x) = x^2 \cdot e^{-(1-x)} = x^2 \cdot e^{x-1}$.

Теперь найдем ее производную, используя правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{x-1}$.

Производная первого сомножителя: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Производная второго сомножителя: $v'(x) = (e^{x-1})' = e^{x-1} \cdot (x-1)' = e^{x-1}$.

Тогда производная всей функции:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot e^{x-1} + x^2 \cdot e^{x-1} = (2x + x^2)e^{x-1}$.

Подставим значение $x=2$ в выражение для производной:

$f'(2) = (2 \cdot 2 + 2^2)e^{2-1} = (4+4)e^1 = 8e$.

Число $e$ является положительной константой. Следовательно, $8e$ — это положительное число. Значит, $f'(2) > 0$.

Ответ: положительный.