Номер 1135, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1135, страница 354.

Условие.

Вычислить интеграл (1135—1136).

1135. 1) $\int_2^9 \sqrt[3]{x-1} dx$;

2) $\int_{\pi/6}^{\pi/4} (2\cos^2 x - 1)dx$;

3) $\int_3^4 \frac{x^2+3}{x-2} dx$;

4) $\int_0^6 x\sqrt{36-x^2} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Вычислим интеграл $ \int_{2}^{9} (\sqrt[3]{x} - 1) dx $.
Представим подынтегральную функцию в виде $ x^{1/3} - 1 $.
Найдем первообразную для этой функции. Используем формулу степенного интегрирования $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $ и интеграл от константы.
$ \int (x^{1/3} - 1) dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - x = \frac{x^{4/3}}{4/3} - x = \frac{3}{4}x^{4/3} - x $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная.
$ \int_{2}^{9} (x^{1/3} - 1) dx = \left. \left( \frac{3}{4}x^{4/3} - x \right) \right|_{2}^{9} = \left( \frac{3}{4}(9)^{4/3} - 9 \right) - \left( \frac{3}{4}(2)^{4/3} - 2 \right) $.
Упростим степенные выражения:
$ 9^{4/3} = (3^2)^{4/3} = 3^{8/3} = 3^{2+2/3} = 9 \cdot 3^{2/3} = 9\sqrt[3]{9} $.
$ 2^{4/3} = 2^{1+1/3} = 2 \cdot 2^{1/3} = 2\sqrt[3]{2} $.
Подставляем обратно в выражение:
$ \left( \frac{3}{4} \cdot 9\sqrt[3]{9} - 9 \right) - \left( \frac{3}{4} \cdot 2\sqrt[3]{2} - 2 \right) = \frac{27}{4}\sqrt[3]{9} - 9 - \frac{6}{4}\sqrt[3]{2} + 2 = \frac{27}{4}\sqrt[3]{9} - \frac{3}{2}\sqrt[3]{2} - 7 $.
Ответ: $ \frac{27\sqrt[3]{9}}{4} - \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} - 7 $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{\pi/6}^{\pi/4} (2\cos^2 x - 1) dx $.
Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $.
Тогда интеграл принимает вид: $ \int_{\pi/6}^{\pi/4} \cos(2x) dx $.
Найдем первообразную для $ \cos(2x) $. Первообразной для $ \cos(kx) $ является $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{\pi/6}^{\pi/4} \cos(2x) dx = \left. \left( \frac{1}{2}\sin(2x) \right) \right|_{\pi/6}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) $.
$ = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2-\sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{2-\sqrt{3}}{4} $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{3}^{4} \frac{x^2+3}{x-2} dx $.
Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, так как степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.
$ \frac{x^2+3}{x-2} = \frac{x^2-4+7}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)+7}{x-2} = x+2 + \frac{7}{x-2} $.
Теперь интегрируем полученное выражение:
$ \int_{3}^{4} \left(x+2 + \frac{7}{x-2}\right) dx $.
Найдем первообразную: $ \int \left(x+2 + \frac{7}{x-2}\right) dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 7\ln|x-2| $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. \left( \frac{x^2}{2} + 2x + 7\ln|x-2| \right) \right|_{3}^{4} = \left( \frac{4^2}{2} + 2 \cdot 4 + 7\ln|4-2| \right) - \left( \frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3 + 7\ln|3-2| \right) $.
$ = \left( \frac{16}{2} + 8 + 7\ln(2) \right) - \left( \frac{9}{2} + 6 + 7\ln(1) \right) $.
Так как $ \ln(1) = 0 $, получаем:
$ = (8 + 8 + 7\ln(2)) - (\frac{9}{2} + 6) = (16 + 7\ln(2)) - (\frac{9+12}{2}) = 16 + 7\ln(2) - \frac{21}{2} = \frac{32-21}{2} + 7\ln(2) = \frac{11}{2} + 7\ln(2) $.
Ответ: $ \frac{11}{2} + 7\ln(2) $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{6} x\sqrt{36-x^2} dx $.
Этот интеграл удобно вычислять методом замены переменной.
Пусть $ t = 36-x^2 $. Тогда найдем дифференциал $ dt = (36-x^2)' dx = -2x dx $. Отсюда выразим $ x dx = -\frac{1}{2} dt $.
Найдем новые пределы интегрирования для переменной $ t $:
При $ x = 0 $, $ t = 36 - 0^2 = 36 $.
При $ x = 6 $, $ t = 36 - 6^2 = 0 $.
Подставляем замену в интеграл:
$ \int_{0}^{6} \sqrt{36-x^2} (x dx) = \int_{36}^{0} \sqrt{t} \left(-\frac{1}{2} dt\right) $.
Используем свойство определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования:
$ -\frac{1}{2} \int_{36}^{0} \sqrt{t} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{36} t^{1/2} dt $.
Теперь вычисляем полученный интеграл:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{36} = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}t^{3/2} \right]_{0}^{36} = \frac{1}{3} \left[ t^{3/2} \right]_{0}^{36} $.
$ = \frac{1}{3} (36^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{1}{3} ((\sqrt{36})^3 - 0) = \frac{1}{3} (6^3) = \frac{216}{3} = 72 $.
Ответ: $ 72 $.