Номер 1133, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1133, страница 354.

Условие.

1133. Для функции $f(x) = \cos 4x$ найти первообразную $F(x)$, если $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$. Таким образом, нам нужно найти неопределенный интеграл от $f(x) = \cos(4x)$.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos(kx)$ имеет вид $F(x) = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

В нашем случае, $f(x) = \cos(4x)$, поэтому $k=4$. Следовательно, общий вид первообразной:

$F(x) = \int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x) + C$

Чтобы найти конкретную первообразную, мы используем заданное условие $F(\frac{\pi}{24}) = -1$. Подставим значение $x = \frac{\pi}{24}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{24}) = \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{24}) + C = -1$

Упростим выражение в аргументе синуса:

$\frac{1}{4}\sin(\frac{4\pi}{24}) + C = -1$

$\frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{6}) + C = -1$

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$:

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + C = -1$

$\frac{1}{8} + C = -1$

Теперь решим уравнение относительно $C$:

$C = -1 - \frac{1}{8}$

$C = -\frac{8}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}$

Теперь, когда мы нашли значение константы $C$, мы можем записать итоговую формулу для искомой первообразной $F(x)$, подставив $C = -\frac{9}{8}$ в ее общий вид:

$F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x) - \frac{9}{8}$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x) - \frac{9}{8}$