Номер 1129, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1129, страница 354.

Условие.

1129. Найти значения $x$, для которых производная функции $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ равна $-1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти значения $x$, для которых производная функции $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ равна $-1$, нужно выполнить два шага: сначала найти производную функции $f'(x)$, а затем решить уравнение $f'(x) = -1$.

1. Нахождение производной функции

Сначала упростим выражение для функции $f(x)$, раскрыв скобки:
$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = (x^2 - 2x - x + 2)(x-3) = (x^2 - 3x + 2)(x-3)$
$f(x) = x(x^2 - 3x + 2) - 3(x^2 - 3x + 2)$
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6$
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 11x - 6)'$
$f'(x) = 3x^2 - 6 \cdot 2x + 11$
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$

2. Решение уравнения

По условию задачи, производная должна быть равна $-1$. Составим уравнение:
$f'(x) = -1$
$3x^2 - 12x + 11 = -1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 - 12x + 11 + 1 = 0$
$3x^2 - 12x + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для его упрощения:
$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(x-2)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что:
$x - 2 = 0$
$x = 2$

Ответ: $2$.