Номер 1125, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1125, страница 353.

Условие.

1125. 1) $y = \frac{x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3}{x^3}$

2) $y = \frac{6x \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = \frac{x^5 - 3x^3 + 2x^2 - x + 3}{x^3}$.

Для нахождения производной сначала упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель $x^3$:
$y = \frac{x^5}{x^3} - \frac{3x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{3}{x^3}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$y = x^{5-3} - 3x^{3-3} + 2x^{2-3} - x^{1-3} + 3x^{-3}$
$y = x^2 - 3 + 2x^{-1} - x^{-2} + 3x^{-3}$

Теперь найдем производную $y'$, используя правило дифференцирования суммы функций и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^2 - 3 + 2x^{-1} - x^{-2} + 3x^{-3})'$
$y' = (x^2)' - (3)' + (2x^{-1})' - (x^{-2})' + (3x^{-3})'$
$y' = 2x^{2-1} - 0 + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - (-2)x^{-2-1} + 3 \cdot (-3)x^{-3-1}$
$y' = 2x - 2x^{-2} + 2x^{-3} - 9x^{-4}$

Запишем результат с положительными степенями в знаменателе:
$y' = 2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$

Ответ: $y' = 2x - \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} - \frac{9}{x^4}$

2) Дана функция $y = \frac{6x\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$.

Сначала упростим выражение, представив корни в виде степеней с дробными показателями: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$
Подставим эти выражения в исходную функцию:
$y = \frac{6x^1 \cdot x^{1/3}}{x^{1/2}}$

Применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$y = 6x^{(1 + \frac{1}{3}) - \frac{1}{2}} = 6x^{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}}$
Приведем показатели степени к общему знаменателю 6:
$\frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$
Таким образом, функция примет вид:
$y = 6x^{5/6}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(cx^n)' = c \cdot nx^{n-1}$:
$y' = (6x^{5/6})'$
$y' = 6 \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}$
$y' = 5x^{\frac{5}{6} - \frac{6}{6}}$
$y' = 5x^{-1/6}$

Запишем результат, используя знак корня:
$y' = \frac{5}{x^{1/6}} = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$

Ответ: $y' = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$