Номер 1120, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1120, страница 353.

Условие.

1120. Найти значения $x$, при которых значения производной

функции

$f(x) = x^3 - 1.5x^2 - 18x + \sqrt{3}$

отрицательны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых значения производной функции отрицательны, необходимо выполнить два шага: сначала найти производную функции, а затем решить неравенство $f'(x) < 0$.

Исходная функция: $f(x) = x^3 - 1,5x^2 - 18x + \sqrt{3}$.

1. Находим производную $f'(x)$, применяя стандартные правила дифференцирования (производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производная константы равна нулю):

$f'(x) = (x^3)' - (1,5x^2)' - (18x)' + (\sqrt{3})' = 3x^{3-1} - 1,5 \cdot 2x^{2-1} - 18x^{1-1} + 0$

$f'(x) = 3x^2 - 3x - 18$

2. Теперь решаем неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 3x - 18 < 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 3:

$x^2 - x - 6 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Это можно сделать, например, по теореме Виета: произведение корней равно $-6$, а их сумма равна $1$. Следовательно, корнями уравнения являются числа $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Графиком квадратичной функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Это означает, что функция принимает отрицательные значения на интервале между своими корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-2; 3)$.

Ответ: $x \in (-2; 3)$