Номер 1126, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1126, страница 353.

Условие.

1126.

1) $y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1}$;

2) $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $y = \frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1}$. Для нахождения асимптот графика данной функции проведем ее анализ.

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота может существовать в точке, где знаменатель дроби обращается в ноль. Приравняем знаменатель к нулю:

$x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Убедимся, что при этом значении $x$ числитель не равен нулю:

$3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3 \cdot 1 + 2 + 1 = 6 \neq 0$.

Следовательно, прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Наклонная асимптота

Поскольку степень многочлена в числителе (2) на единицу больше степени многочлена в знаменателе (1), у графика функции есть наклонная асимптота вида $y = kx + b$. Коэффициенты $k$ и $b$ находим по формулам:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x(x + 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + x}$.

Разделив числитель и знаменатель на старшую степень $x^2$, получим:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{1} = 3$.

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1} - 3x\right)$.

Приводя к общему знаменателю:

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1 - 3x(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1 - 3x^2 - 3x}{x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-5x + 1}{x + 1}$.

Разделив числитель и знаменатель на $x$:

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-5 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{-5}{1} = -5$.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = 3x - 5$.

Альтернативный способ нахождения наклонной асимптоты — выделение целой части дроби с помощью деления многочленов столбиком. Выполнив деление $3x^2 - 2x + 1$ на $x + 1$, получим:

$\frac{3x^2 - 2x + 1}{x + 1} = 3x - 5 + \frac{6}{x + 1}$.

При $x \to \pm\infty$, слагаемое $\frac{6}{x+1}$ стремится к нулю, значит, график функции приближается к прямой $y = 3x - 5$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -1$, наклонная асимптота $y = 3x - 5$.

2)

Дана функция $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1}$. Найдем асимптоты ее графика.

Вертикальная асимптота

Приравняем знаменатель к нулю:

$2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$.

Проверим значение числителя при $x = -1/2$:

$2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \neq 0$.

Значит, прямая $x = -1/2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота

Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому график имеет наклонную асимптоту $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x(2x + 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{2}{2} = 1$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1 - x(2x + 1)}{2x + 1}$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1 - 2x^2 - x}{2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4x + 1}{2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{-4}{2} = -2$.

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты: $y = x - 2$.

Также можно выделить целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{2x^2 - 3x + 1}{2x + 1} = x - 2 + \frac{3}{2x + 1}$.

Поскольку при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{3}{2x+1} \to 0$, график функции стремится к прямой $y = x - 2$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -1/2$, наклонная асимптота $y = x - 2$.