Страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1128. Найти производную функции $y = \log_3 x + 4(7x - 4)$ в точке $x = 2$.

Для того чтобы найти производную функции $y = \log_{3x+4}(7x-4)$, сначала необходимо перейти к новому основанию логарифма. Удобнее всего использовать натуральный логарифм ($\ln$). Формула перехода к новому основанию выглядит так: $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$.

Применим эту формулу к нашей функции:

$y = \frac{\ln(7x-4)}{\ln(3x+4)}$

Теперь мы можем найти производную $y'$ этой функции, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.

Пусть $f(x) = \ln(7x-4)$ и $g(x) = \ln(3x+4)$.

Найдём производные $f'(x)$ и $g'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции, $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = (\ln(7x-4))' = \frac{(7x-4)'}{7x-4} = \frac{7}{7x-4}$

$g'(x) = (\ln(3x+4))' = \frac{(3x+4)'}{3x+4} = \frac{3}{3x+4}$

Подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{\frac{7}{7x-4} \cdot \ln(3x+4) - \ln(7x-4) \cdot \frac{3}{3x+4}}{[\ln(3x+4)]^2}$

Теперь необходимо найти значение производной в точке $x=2$. Подставим $x=2$ в полученное выражение для $y'$.

Сначала вычислим значения выражений, входящих в формулу, при $x=2$:

$7x - 4 = 7 \cdot 2 - 4 = 14 - 4 = 10$

$3x + 4 = 3 \cdot 2 + 4 = 6 + 4 = 10$

Теперь подставим эти значения в выражение для производной:

$y'(2) = \frac{\frac{7}{10} \cdot \ln(10) - \ln(10) \cdot \frac{3}{10}}{[\ln(10)]^2}$

Упростим полученное выражение:

$y'(2) = \frac{(\frac{7}{10} - \frac{3}{10}) \cdot \ln(10)}{[\ln(10)]^2} = \frac{\frac{4}{10} \cdot \ln(10)}{[\ln(10)]^2}$

Сократим $\ln(10)$ в числителе и знаменателе:

$y'(2) = \frac{\frac{4}{10}}{\ln(10)} = \frac{4}{10\ln(10)} = \frac{2}{5\ln(10)}$

Ответ: $\frac{2}{5\ln(10)}$

1129. Найти значения $x$, для которых производная функции $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ равна $-1$.

Чтобы найти значения $x$, для которых производная функции $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ равна $-1$, нужно выполнить два шага: сначала найти производную функции $f'(x)$, а затем решить уравнение $f'(x) = -1$.

1. Нахождение производной функции

Сначала упростим выражение для функции $f(x)$, раскрыв скобки:
$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = (x^2 - 2x - x + 2)(x-3) = (x^2 - 3x + 2)(x-3)$
$f(x) = x(x^2 - 3x + 2) - 3(x^2 - 3x + 2)$
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6$
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 11x - 6)'$
$f'(x) = 3x^2 - 6 \cdot 2x + 11$
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$

2. Решение уравнения

По условию задачи, производная должна быть равна $-1$. Составим уравнение:
$f'(x) = -1$
$3x^2 - 12x + 11 = -1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 - 12x + 11 + 1 = 0$
$3x^2 - 12x + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для его упрощения:
$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(x-2)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что:
$x - 2 = 0$
$x = 2$

Ответ: $2$.

1130. Определить знак числа $f'(2)$, если:

1) $f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$

2) $f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}$

1) Для функции $f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$ найдем ее производную. Это произведение двух функций, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{3-2x}$ и $v(x) = x^2$.

Найдем производную первого сомножителя, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = (e^{3-2x})' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = -2e^{3-2x}$.

Производная второго сомножителя: $v'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$f'(x) = u'v + uv' = (-2e^{3-2x}) \cdot x^2 + e^{3-2x} \cdot (2x) = 2xe^{3-2x} - 2x^2e^{3-2x}$.

Для удобства вынесем общий множитель за скобки: $f'(x) = 2x(1-x)e^{3-2x}$.

Подставим значение $x=2$ в выражение для производной:

$f'(2) = 2 \cdot 2 \cdot (1-2) \cdot e^{3-2 \cdot 2} = 4 \cdot (-1) \cdot e^{3-4} = -4e^{-1} = -\frac{4}{e}$.

Число $e$ (основание натурального логарифма) является положительной константой ($e \approx 2.718$). Следовательно, $-\frac{4}{e}$ — это отрицательное число. Значит, $f'(2) < 0$.

Ответ: отрицательный.

2) Для функции $f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}$ сначала преобразуем ее для удобства дифференцирования: $f(x) = x^2 \cdot e^{-(1-x)} = x^2 \cdot e^{x-1}$.

Теперь найдем ее производную, используя правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{x-1}$.

Производная первого сомножителя: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Производная второго сомножителя: $v'(x) = (e^{x-1})' = e^{x-1} \cdot (x-1)' = e^{x-1}$.

Тогда производная всей функции:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot e^{x-1} + x^2 \cdot e^{x-1} = (2x + x^2)e^{x-1}$.

Подставим значение $x=2$ в выражение для производной:

$f'(2) = (2 \cdot 2 + 2^2)e^{2-1} = (4+4)e^1 = 8e$.

Число $e$ является положительной константой. Следовательно, $8e$ — это положительное число. Значит, $f'(2) > 0$.

Ответ: положительный.

1131. Дана функция $f(x) = \frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x}$. Найти $f'(0), f'\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Для решения задачи сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}$.

Функция представляет собой частное двух функций, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 1 + \sin 2x$ и $v(x) = 1 - \sin 2x$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (1 + \sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$

$v'(x) = (1 - \sin 2x)' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -2\cos 2x$

Теперь подставим полученные производные в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(2\cos 2x)(1 - \sin 2x) - (1 + \sin 2x)(-2\cos 2x)}{(1 - \sin 2x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{2\cos 2x - 2\cos 2x \sin 2x + 2\cos 2x + 2\cos 2x \sin 2x}{(1 - \sin 2x)^2}$

$f'(x) = \frac{4\cos 2x}{(1 - \sin 2x)^2}$

Имея выражение для производной, вычислим ее значения в заданных точках.

$f'(0)$

Подставим $x=0$ в выражение для производной $f'(x)$:

$f'(0) = \frac{4\cos(2 \cdot 0)}{(1 - \sin(2 \cdot 0))^2} = \frac{4\cos(0)}{(1 - \sin(0))^2}$

Так как $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$f'(0) = \frac{4 \cdot 1}{(1 - 0)^2} = \frac{4}{1} = 4$

Ответ: $4$

$f'(\frac{\pi}{6})$

Подставим $x=\frac{\pi}{6}$ в выражение для производной $f'(x)$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{4\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6})}{(1 - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}))^2} = \frac{4\cos(\frac{\pi}{3})}{(1 - \sin(\frac{\pi}{3}))^2}$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{2}{(\frac{2 - \sqrt{3}}{2})^2} = \frac{2}{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{4}} = \frac{8}{(2 - \sqrt{3})^2}$

Раскроем квадрат разности в знаменателе: $(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Подставим это значение в наше выражение:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{8}{7 - 4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(7 + 4\sqrt{3})$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{49 - 48} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{1} = 56 + 32\sqrt{3}$

Ответ: $56 + 32\sqrt{3}$

1132. Найти значения $x$, при которых $f'(x) \leq g'(x)$, если $f(x)=x^3+x^2+x\sqrt{3}$, $g(x)=x\sqrt{3}+1$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $f'(x) \le g'(x)$, необходимо сначала найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Находим производную функции $f(x) = x^3 + x^2 + x\sqrt{3}$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^3)' + (x^2)' + (x\sqrt{3})' = 3x^2 + 2x + \sqrt{3}$

2. Находим производную функции $g(x) = x\sqrt{3} + 1$.

Производная этой функции равна:

$g'(x) = (x\sqrt{3})' + (1)' = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$

3. Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$, подставив в него найденные производные.

$3x^2 + 2x + \sqrt{3} \le \sqrt{3}$

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей неравенства:

$3x^2 + 2x \le 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(3x + 2) \le 0$

Далее решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(3x + 2) = 0$.

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$3x + 2 = 0 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}$

Отметим эти корни на числовой оси. Они разделяют ось на три интервала. Графиком функции $y = 3x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $3$, что больше нуля). Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, принадлежащие отрезку $[-\frac{2}{3}, 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}, 0]$.

1133. Для функции $f(x) = \cos 4x$ найти первообразную $F(x)$, если $F\left(\frac{\pi}{24}\right) = -1.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$. Таким образом, нам нужно найти неопределенный интеграл от $f(x) = \cos(4x)$.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos(kx)$ имеет вид $F(x) = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

В нашем случае, $f(x) = \cos(4x)$, поэтому $k=4$. Следовательно, общий вид первообразной:

$F(x) = \int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x) + C$

Чтобы найти конкретную первообразную, мы используем заданное условие $F(\frac{\pi}{24}) = -1$. Подставим значение $x = \frac{\pi}{24}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{24}) = \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{24}) + C = -1$

Упростим выражение в аргументе синуса:

$\frac{1}{4}\sin(\frac{4\pi}{24}) + C = -1$

$\frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{6}) + C = -1$

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$:

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + C = -1$

$\frac{1}{8} + C = -1$

Теперь решим уравнение относительно $C$:

$C = -1 - \frac{1}{8}$

$C = -\frac{8}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}$

Теперь, когда мы нашли значение константы $C$, мы можем записать итоговую формулу для искомой первообразной $F(x)$, подставив $C = -\frac{9}{8}$ в ее общий вид:

$F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x) - \frac{9}{8}$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x) - \frac{9}{8}$

1134. Найти первообразную функции:

1) $y = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$;

2) $y = \frac{3}{4x-1}$.

1) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Первообразная функции — это множество всех функций, производная которых равна исходной функции, и находится она путем интегрирования.
$F(x) = \int \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}\right) dx$
Используя свойство линейности интеграла (интеграл разности равен разности интегралов), получаем:
$F(x) = \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{x-1} dx$
Оба интеграла являются табличными. Общая формула для первообразной функции вида $\frac{1}{ax+b}$ есть $\frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$.
Для первого слагаемого $\frac{1}{x+1}$, коэффициенты $a=1, b=1$. Следовательно, его первообразная:
$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|$
Для второго слагаемого $\frac{1}{x-1}$, коэффициенты $a=1, b=-1$. Его первообразная:
$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1|$
Таким образом, общая первообразная для исходной функции имеет вид:
$F(x) = \ln|x+1| - \ln|x-1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, можно упростить выражение:
$F(x) = \ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + C$
Ответ: $F(x) = \ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + C$.

2) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = \frac{3}{4x-1}$, нужно вычислить неопределенный интеграл:
$F(x) = \int \frac{3}{4x-1} dx$
Постоянный множитель 3 можно вынести за знак интеграла:
$F(x) = 3 \int \frac{1}{4x-1} dx$
Для вычисления этого интеграла снова используем формулу для первообразной функции вида $\frac{1}{ax+b}$, которая равна $\frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$.
В данном случае $a=4$ и $b=-1$. Применяя формулу, получаем:
$\int \frac{1}{4x-1} dx = \frac{1}{4} \ln|4x-1|$
Подставляем это выражение обратно:
$F(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{4} \ln|4x-1|\right) + C = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$
Альтернативно, можно использовать метод замены переменной. Пусть $u = 4x-1$. Тогда дифференциал $du = (4x-1)' dx = 4 dx$, откуда $dx = \frac{du}{4}$.
$F(x) = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{4} \ln|u| + C$
Выполнив обратную замену $u=4x-1$, приходим к тому же результату:
$F(x) = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$.

Вычислить интеграл (1135—1136).

1135. 1) $\int_2^9 \sqrt[3]{x-1} dx$;

2) $\int_{\pi/6}^{\pi/4} (2\cos^2 x - 1)dx$;

3) $\int_3^4 \frac{x^2+3}{x-2} dx$;

4) $\int_0^6 x\sqrt{36-x^2} dx.$

1) Вычислим интеграл $ \int_{2}^{9} (\sqrt[3]{x} - 1) dx $.
Представим подынтегральную функцию в виде $ x^{1/3} - 1 $.
Найдем первообразную для этой функции. Используем формулу степенного интегрирования $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $ и интеграл от константы.
$ \int (x^{1/3} - 1) dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - x = \frac{x^{4/3}}{4/3} - x = \frac{3}{4}x^{4/3} - x $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная.
$ \int_{2}^{9} (x^{1/3} - 1) dx = \left. \left( \frac{3}{4}x^{4/3} - x \right) \right|_{2}^{9} = \left( \frac{3}{4}(9)^{4/3} - 9 \right) - \left( \frac{3}{4}(2)^{4/3} - 2 \right) $.
Упростим степенные выражения:
$ 9^{4/3} = (3^2)^{4/3} = 3^{8/3} = 3^{2+2/3} = 9 \cdot 3^{2/3} = 9\sqrt[3]{9} $.
$ 2^{4/3} = 2^{1+1/3} = 2 \cdot 2^{1/3} = 2\sqrt[3]{2} $.
Подставляем обратно в выражение:
$ \left( \frac{3}{4} \cdot 9\sqrt[3]{9} - 9 \right) - \left( \frac{3}{4} \cdot 2\sqrt[3]{2} - 2 \right) = \frac{27}{4}\sqrt[3]{9} - 9 - \frac{6}{4}\sqrt[3]{2} + 2 = \frac{27}{4}\sqrt[3]{9} - \frac{3}{2}\sqrt[3]{2} - 7 $.
Ответ: $ \frac{27\sqrt[3]{9}}{4} - \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} - 7 $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{\pi/6}^{\pi/4} (2\cos^2 x - 1) dx $.
Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $.
Тогда интеграл принимает вид: $ \int_{\pi/6}^{\pi/4} \cos(2x) dx $.
Найдем первообразную для $ \cos(2x) $. Первообразной для $ \cos(kx) $ является $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{\pi/6}^{\pi/4} \cos(2x) dx = \left. \left( \frac{1}{2}\sin(2x) \right) \right|_{\pi/6}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) $.
$ = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2-\sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{2-\sqrt{3}}{4} $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{3}^{4} \frac{x^2+3}{x-2} dx $.
Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, так как степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.
$ \frac{x^2+3}{x-2} = \frac{x^2-4+7}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)+7}{x-2} = x+2 + \frac{7}{x-2} $.
Теперь интегрируем полученное выражение:
$ \int_{3}^{4} \left(x+2 + \frac{7}{x-2}\right) dx $.
Найдем первообразную: $ \int \left(x+2 + \frac{7}{x-2}\right) dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 7\ln|x-2| $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. \left( \frac{x^2}{2} + 2x + 7\ln|x-2| \right) \right|_{3}^{4} = \left( \frac{4^2}{2} + 2 \cdot 4 + 7\ln|4-2| \right) - \left( \frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3 + 7\ln|3-2| \right) $.
$ = \left( \frac{16}{2} + 8 + 7\ln(2) \right) - \left( \frac{9}{2} + 6 + 7\ln(1) \right) $.
Так как $ \ln(1) = 0 $, получаем:
$ = (8 + 8 + 7\ln(2)) - (\frac{9}{2} + 6) = (16 + 7\ln(2)) - (\frac{9+12}{2}) = 16 + 7\ln(2) - \frac{21}{2} = \frac{32-21}{2} + 7\ln(2) = \frac{11}{2} + 7\ln(2) $.
Ответ: $ \frac{11}{2} + 7\ln(2) $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{6} x\sqrt{36-x^2} dx $.
Этот интеграл удобно вычислять методом замены переменной.
Пусть $ t = 36-x^2 $. Тогда найдем дифференциал $ dt = (36-x^2)' dx = -2x dx $. Отсюда выразим $ x dx = -\frac{1}{2} dt $.
Найдем новые пределы интегрирования для переменной $ t $:
При $ x = 0 $, $ t = 36 - 0^2 = 36 $.
При $ x = 6 $, $ t = 36 - 6^2 = 0 $.
Подставляем замену в интеграл:
$ \int_{0}^{6} \sqrt{36-x^2} (x dx) = \int_{36}^{0} \sqrt{t} \left(-\frac{1}{2} dt\right) $.
Используем свойство определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $, чтобы поменять пределы интегрирования:
$ -\frac{1}{2} \int_{36}^{0} \sqrt{t} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{36} t^{1/2} dt $.
Теперь вычисляем полученный интеграл:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{36} = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}t^{3/2} \right]_{0}^{36} = \frac{1}{3} \left[ t^{3/2} \right]_{0}^{36} $.
$ = \frac{1}{3} (36^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{1}{3} ((\sqrt{36})^3 - 0) = \frac{1}{3} (6^3) = \frac{216}{3} = 72 $.
Ответ: $ 72 $.

1136. 1) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x dx;$

3) $\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx;$

4) $\int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) dx;$

5) $\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) dx;$

6) $\int_{-1}^{1} \frac{2}{5-4x} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = (-\cos x) \big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = (-(-1)) - (-0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx = (\sin x) \big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \, dx$.

Находим первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 + 2x + 3$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 3x = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$.

Вычисляем значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \, dx = (\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x) \big|_{-2}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1) - (\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3 \cdot (-2))$

$= (\frac{1}{3} + 1 + 3) - (\frac{-8}{3} + 4 - 6) = (\frac{1}{3} + 4) - (-\frac{8}{3} - 2) = \frac{13}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{13}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Ответ: $9$

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) \, dx$.

Находим первообразную для функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 8x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) \, dx = (\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x) \big|_{1}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2) - (\frac{1^3}{3} - 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1)$

$= (\frac{8}{3} - 12 + 16) - (\frac{1}{3} - 3 + 8) = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 5) = \frac{20}{3} - \frac{16}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

5) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) \, dx$.

Находим первообразную для $f(x) = x^{-2} + 1$:

$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + x = \frac{x^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x} + x$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) \, dx = (-\frac{1}{x} + x) \big|_{1}^{3} = (-\frac{1}{3} + 3) - (-\frac{1}{1} + 1) = (\frac{8}{3}) - (-1 + 1) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

6) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} \frac{2}{5-4x} \, dx$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{2}{5-4x}$ воспользуемся табличным интегралом $\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$.

Первообразная $F(x) = 2 \cdot \frac{1}{-4} \ln|5-4x| = -\frac{1}{2} \ln|5-4x|$.

Вычисляем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} \frac{2}{5-4x} \, dx = (-\frac{1}{2} \ln|5-4x|) \big|_{-1}^{1} = (-\frac{1}{2} \ln|5-4 \cdot 1|) - (-\frac{1}{2} \ln|5-4 \cdot (-1)|)$

$= (-\frac{1}{2} \ln|1|) - (-\frac{1}{2} \ln|9|) = (-\frac{1}{2} \cdot 0) - (-\frac{1}{2} \ln 9) = 0 + \frac{1}{2} \ln 9 = \frac{1}{2} \ln(3^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln 3 = \ln 3$.

Ответ: $\ln 3$