Страница 349 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1069. Исследовать с помощью производной функцию

$y = x^3 - 3x + 2$

и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ox.

Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 3x + 2$ и построить её график

Для исследования функции и построения ее графика выполним следующие шаги:

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$: подставим $x=0$ в уравнение функции: $y(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$. Точка пересечения с осью ординат: $(0, 2)$.
- С осью $Ox$: подставим $y=0$ в уравнение функции: $x^3 - 3x + 2 = 0$.
Заметим, что $x=1$ является корнем, так как $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Это значит, что многочлен $(x^3 - 3x + 2)$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление (например, столбиком или по схеме Горнера) и получим: $(x^3 - 3x + 2) : (x-1) = x^2 + x - 2$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x-1)(x^2+x-2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2+x-2 = 0$. Его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
В итоге, исходное уравнение имеет два различных корня: $x = -2$ и $x = 1$ (корень кратности 2).
Точки пересечения с осью абсцисс: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$. Так как $x=1$ — корень кратности 2, в этой точке график касается оси $Ox$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную функции: $y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$, $y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$. Точка максимума: $(-1, 4)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. Найдем значение функции: $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка минимума: $(1, 0)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $6x = 0 \implies x = 0$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $y'' < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (0, +\infty)$, $y'' > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.
В точке $x=0$ направление выпуклости меняется, значит, это точка перегиба. Ордината этой точки $y(0)=2$. Точка перегиба: $(0, 2)$.

6. Построение графика.
На основе проведенного анализа, отметим ключевые точки на координатной плоскости: $(-2, 0)$ (пересечение с $Ox$), $(1, 0)$ (касание $Ox$, минимум), $(-1, 4)$ (максимум), $(0, 2)$ (пересечение с $Oy$, перегиб).
Соединяем эти точки плавной кривой, учитывая информацию о монотонности и выпуклости. График приходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-1, 4)$, затем убывает, проходит через точку перегиба $(0, 2)$, достигает точки минимума $(1, 0)$, где касается оси абсцисс, и затем снова возрастает, уходя в $+\infty$.

Ответ: В результате исследования установлено, что функция $y=x^3-3x+2$ возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка локального максимума $(-1, 4)$, точка локального минимума $(1, 0)$. График функции выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба графика — $(0, 2)$. График пересекает оси координат в точках $(-2, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ox

Касательная к графику функции параллельна оси $Ox$ (оси абсцисс) в тех точках, где ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в любой точке графика равен значению производной функции в этой точке.

Следовательно, нам необходимо найти точки, в которых производная $y' = 3x^2 - 3$ обращается в ноль.

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два значения абсциссы: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Теперь найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив значения $x$ в исходное уравнение функции:

- При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.

- При $x = 1$: $y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Таким образом, искомые точки — это точки локальных экстремумов функции, где касательная горизонтальна.

Ответ: $(-1, 4)$ и $(1, 0)$.

1070. Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 5x^2 - x + 5$ и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.

Исследовать функцию $y = f(x)$ и построить её график

Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 5x^2 - x + 5$ и построить её график

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 5x^2 - x + 5$.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Найдем значение функции от $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^2 - (-x) + 5 = -x^3 - 5x^2 + x + 5$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^3 - 5(0)^2 - 0 + 5 = 5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 5)$.

С осью Ox (при $y=0$):
$x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $x^2(x - 5) - (x - 5) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x-5)$: $(x^2 - 1)(x - 5) = 0$.
$(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(5; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$y' = f'(x) = (x^3 - 5x^2 - x + 5)' = 3x^2 - 10x - 1$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 10x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 100 + 12 = 112$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.
Критические точки: $x_{max} = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0.10$ и $x_{min} = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3.43$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• При $x \in (-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3})$, $y' > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).
• При $x \in (\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3})$, $y' < 0$, функция убывает ($\searrow$).
• При $x \in (\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).

В точке $x = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = f(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}) \approx (-0.1)^3 - 5(-0.1)^2 - (-0.1) + 5 = -0.001 - 0.05 + 0.1 + 5 = 5.049$.
Точка максимума: $(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; 5.049)$.
В точке $x = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = f(\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}) \approx (3.43)^3 - 5(3.43)^2 - 3.43 + 5 \approx 40.36 - 58.82 - 3.43 + 5 = -16.89$.
Точка минимума: $(\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; -16.89)$.

5. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$y'' = f''(x) = (3x^2 - 10x - 1)' = 6x - 10$.
Приравняем вторую производную к нулю: $6x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Определим знаки второй производной:

• При $x \in (-\infty; \frac{5}{3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (∩).
• При $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции вогнутый, т.е. выпуклый вниз (∪).

Поскольку в точке $x = \frac{5}{3}$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба.
Найдем ординату точки перегиба: $y(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - 5(\frac{5}{3})^2 - \frac{5}{3} + 5 = \frac{125}{27} - \frac{125}{9} - \frac{5}{3} + 5 = \frac{125 - 375 - 45 + 135}{27} = -\frac{160}{27} \approx -5.93$.
Точка перегиба: $(\frac{5}{3}; -\frac{160}{27})$.

6. Построение графика

На основе полученных данных строим график функции. Отмечаем точки пересечения с осями $(-1; 0), (1; 0), (5; 0)$ и $(0; 5)$, точку максимума $(\approx -0.1; 5.05)$, точку минимума $(\approx 3.43; -16.89)$ и точку перегиба $(\approx 1.67; -5.93)$. Соединяем точки плавной линией с учетом интервалов монотонности и выпуклости.

Ответ: Функция исследована. Ключевые точки: пересечение с Oy - $(0; 5)$; пересечения с Ox - $(-1; 0), (1; 0), (5; 0)$; локальный максимум в точке $x = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0.1$; локальный минимум в точке $x = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3.43$; точка перегиба $x = \frac{5}{3} \approx 1.67$. График построен.

Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, точка касания имеет абсциссу $x_0 = 4$.

1. Найдем значение функции в этой точке (ординату точки касания):
$f(4) = 4^3 - 5(4)^2 - 4 + 5 = 64 - 5(16) - 4 + 5 = 64 - 80 - 4 + 5 = -15$.

2. Найдем значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной):
$f'(x) = 3x^2 - 10x - 1$.
$f'(4) = 3(4)^2 - 10(4) - 1 = 3 \cdot 16 - 40 - 1 = 48 - 41 = 7$.

3. Подставим найденные значения $x_0=4$, $f(x_0)=-15$ и $f'(x_0)=7$ в уравнение касательной:
$y = -15 + 7(x - 4)$.
$y = -15 + 7x - 28$.
$y = 7x - 43$.

Ответ: $y = 7x - 43$.

(1071–1073).

1071.

1) $f(x)=4x^3+6x^2;$

2) $f(x)=3x^2-2x^3;$

3) $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x;$

4) $f(x)=x^4-\frac{1}{2}x^2.$

Для исследования функций найдем их производные, критические точки, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.

1) $f(x) = 4x^3 + 6x^2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (4x^3 + 6x^2)' = 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x = 12x^2 + 12x$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$12x^2 + 12x = 0$
$12x(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
4. Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x = -2$, $f'(-2) = 12(-2)^2 + 12(-2) = 48 - 24 = 24 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-1, 0)$, например $x = -0.5$, $f'(-0.5) = 12(-0.5)^2 + 12(-0.5) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0, \infty)$, например $x = 1$, $f'(1) = 12(1)^2 + 12(1) = 24 > 0$. Функция возрастает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = 4(-1)^3 + 6(-1)^2 = -4 + 6 = 2$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 4(0)^3 + 6(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, \infty)$; убывает на промежутке $[-1, 0]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = 2$; точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

2) $f(x) = 3x^2 - 2x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^2 - 2x^3)' = 3 \cdot 2x - 2 \cdot 3x^2 = 6x - 6x^2$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$6x - 6x^2 = 0$
$6x(1 - x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
4. Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x = -1$, $f'(-1) = 6(-1) - 6(-1)^2 = -6 - 6 = -12 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0, 1)$, например $x = 0.5$, $f'(0.5) = 6(0.5) - 6(0.5)^2 = 3 - 1.5 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (1, \infty)$, например $x = 2$, $f'(2) = 6(2) - 6(2)^2 = 12 - 24 = -12 < 0$. Функция убывает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 3(0)^2 - 2(0)^3 = 0$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$; возрастает на промежутке $[0, 1]$; точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$.

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
4. Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x = -2$, $f'(-2) = (-2)^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, например $x = 0$, $f'(0) = 0^2 - 1 = -1 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (1, \infty)$, например $x = 2$, $f'(2) = 2^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$; убывает на промежутке $[-1, 1]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = \frac{2}{3}$; точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = -\frac{2}{3}$.

4) $f(x) = x^4 - \frac{1}{2}x^2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - \frac{1}{2}x^2)' = 4x^3 - \frac{1}{2} \cdot 2x = 4x^3 - x$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 - x = 0$
$x(4x^2 - 1) = 0$
$x(2x - 1)(2x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.
4. Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, 0)$, $(0, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -\frac{1}{2})$, например $x = -1$, $f'(-1) = 4(-1)^3 - (-1) = -3 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (-\frac{1}{2}, 0)$, например $x = -0.1$, $f'(-0.1) = 4(-0.1)^3 - (-0.1) = -0.004 + 0.1 = 0.096 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (0, \frac{1}{2})$, например $x = 0.1$, $f'(0.1) = 4(0.1)^3 - 0.1 = 0.004 - 0.1 = -0.096 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (\frac{1}{2}, \infty)$, например $x = 1$, $f'(1) = 4(1)^3 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
5. Находим точки экстремума.
- В точке $x = -\frac{1}{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^4 - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{16}$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = f(0) = 0^4 - \frac{1}{2}(0)^2 = 0$.
- В точке $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{16}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -\frac{1}{2}]$ и $[0, \frac{1}{2}]$; возрастает на промежутках $[-\frac{1}{2}, 0]$ и $[\frac{1}{2}, \infty)$; точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$; точки минимума $x_{min} = \pm\frac{1}{2}$, $y_{min} = -\frac{1}{16}$.

1072. 1) $y = - \frac{x^4}{4} + x^2;$

2) $y = x^4 - 2x^2 - 3.$

Проведем полное исследование функции $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность функции.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = -\frac{x^4}{4} + x^2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y(0) = -\frac{0}{4} + 0 = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.
- С осью OX: $y=0 \Rightarrow -\frac{x^4}{4} + x^2 = 0$.
$x^2(-\frac{x^2}{4} + 1) = 0$.
Отсюда $x^2 = 0 \Rightarrow x=0$ или $-\frac{x^2}{4} + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Точки пересечения $(-2; 0)$, $(0; 0)$, $(2; 0)$.

4. Асимптоты.
Так как функция является многочленом, вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = \left(-\frac{x^4}{4} + x^2\right)' = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 2x = -x^3 + 2x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-x^3 + 2x = 0 \Rightarrow x(-x^2 + 2) = 0$.
$x=0$ или $x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.
Критические точки: $x = -\sqrt{2}$, $x = 0$, $x = \sqrt{2}$.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; 0)$, $(0; \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\sqrt{2}; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; \sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = -\sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = -\frac{(-\sqrt{2})^4}{4} + (-\sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = 1$.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
В точке $x = \sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = y(\sqrt{2}) = -\frac{(\sqrt{2})^4}{4} + (\sqrt{2})^2 = 1$.
Точки экстремума: $(-\sqrt{2}; 1)$ - максимум, $(0; 0)$ - минимум, $(\sqrt{2}; 1)$ - максимум.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = (-x^3 + 2x)' = -3x^2 + 2$.
Найдем точки, где вторая производная равна нулю:
$-3x^2 + 2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Исследуем знак второй производной:
- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2/3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3})$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (\sqrt{2/3}; +\infty)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба.
Найдем значения функции в этих точках: $y(\pm\sqrt{2/3}) = -\frac{(\sqrt{2/3})^4}{4} + (\sqrt{2/3})^2 = -\frac{4/9}{4} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{5}{9}$.
Точки перегиба: $(-\sqrt{2/3}; 5/9)$ и $(\sqrt{2/3}; 5/9)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[0; \sqrt{2}]$, убывает на $[-\sqrt{2}; 0]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$. Точки максимума: $(-\sqrt{2}; 1)$ и $(\sqrt{2}; 1)$. Точка минимума: $(0; 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; -\sqrt{2/3})$ и $(\sqrt{2/3}; +\infty)$, выпуклый вниз на $(-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3})$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}; 5/9)$.

Проведем полное исследование функции $y = x^4 - 2x^2 - 3$.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность функции.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0 \Rightarrow y(0) = 0 - 0 - 3 = -3$. Точка пересечения $(0; -3)$.
- С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^4 - 2x^2 - 3 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета $t_1 = 3$, $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к замене: $x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$.

4. Асимптоты.
Так как функция является многочленом, асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.
Найдем критические точки:
$4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0$.
Критические точки: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x = -1$ - точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
$x = 0$ - точка максимума. $y_{max} = y(0) = -3$.
$x = 1$ - точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Точки экстремума: $(-1; -4)$ - минимум, $(0; -3)$ - максимум, $(1; -4)$ - минимум.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.
Найдем точки, где $y''=0$:
$12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow 12x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Исследуем знак второй производной:
- При $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (1/\sqrt{3}; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
Точки $x = \pm 1/\sqrt{3}$ являются точками перегиба.
Найдем значения функции в этих точках: $y(\pm 1/\sqrt{3}) = (1/3)^2 - 2(1/3) - 3 = 1/9 - 2/3 - 3 = \frac{1-6-27}{9} = -\frac{32}{9}$.
Точки перегиба: $(-1/\sqrt{3}; -32/9)$ и $(1/\sqrt{3}; -32/9)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$. Точка максимума: $(0; -3)$. Точки минимума: $(-1; -4)$ и $(1; -4)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -1/\sqrt{3})$ и $(1/\sqrt{3}; +\infty)$, выпуклый вверх на $(-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$. Точки перегиба: $(\pm 1/\sqrt{3}; -32/9)$.

1073. 1) $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9;$

2) $y = -x^4 + 6x^2 - 9;$

3) $y = \frac{x^2+1}{x};$

4) $y = \frac{x^2+2}{2x}.$

1) $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как функция является многочленом: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции для определения интервалов монотонности и точек экстремума:
$y' = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x - 3$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$y' = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета: произведение корней равно -3, а сумма равна 2. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Это стационарные точки, так как производная в них равна нулю.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$, $(3, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, -1)$, например, при $x = -2$: $y'(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом интервале.
- На интервале $(-1, 3)$, например, при $x = 0$: $y'(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает на этом интервале.
- На интервале $(3, +\infty)$, например, при $x = 4$: $y'(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом интервале.

5. Определяем точки экстремума и значения функции в этих точках:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 9 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 9 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{32}{3}$.
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 9 = 9 - 9 - 9 + 9 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 3]$. Точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = \frac{32}{3}$. Точка минимума $x_{min} = 3$, $y_{min} = 0$.

2) $y = -x^4 + 6x^2 - 9$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (-x^4 + 6x^2 - 9)' = -4x^3 + 12x$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$-4x^3 + 12x = 0$
$-4x(x^2 - 3) = 0$
$-4x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$, $(\sqrt{3}, +\infty)$.
- При $x < -\sqrt{3}$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = -4(-8) + 12(-2) = 32 - 24 = 8 > 0$, функция возрастает.
- При $-\sqrt{3} < x < 0$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = -4(-1) + 12(-1) = 4 - 12 = -8 < 0$, функция убывает.
- При $0 < x < \sqrt{3}$ (например, $x=1$): $y'(1) = -4(1) + 12(1) = 8 > 0$, функция возрастает.
- При $x > \sqrt{3}$ (например, $x=2$): $y'(2) = -4(8) + 12(2) = -32 + 24 = -8 < 0$, функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3})^4 + 6(-\sqrt{3})^2 - 9 = -9 + 6(3) - 9 = 0$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = -0^4 + 6(0)^2 - 9 = -9$.
- В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^4 + 6(\sqrt{3})^2 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3}]$ и $[0, \sqrt{3}]$, убывает на промежутках $[-\sqrt{3}, 0]$ и $[\sqrt{3}, +\infty)$. Точки максимума $x_{max} = \pm\sqrt{3}$, $y_{max} = 0$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = -9$.

3) $y = \frac{x^2+1}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Для удобства можно переписать функцию: $y = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$.

2. Находим производную: $y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

3. Находим критические точки. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения. Приравниваем производную к нулю:
$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $x^2 - 1$.
- На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$, выражение $x^2 - 1$ положительно ($y' > 0$), значит функция возрастает.
- На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, выражение $x^2 - 1$ отрицательно ($y' < 0$), значит функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = \frac{(-1)^2+1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{1^2+1}{1} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 1]$. Точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = -2$. Точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 2$.

4) $y = \frac{x^2+2}{2x}$

1. Область определения функции: $2x \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Перепишем функцию: $y = \frac{x^2}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$.

2. Находим производную: $y' = (\frac{x}{2} + \frac{1}{x})' = \frac{1}{2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{2x^2}$.

3. Находим критические точки. Производная не существует при $x=0$ (не входит в область определения). Приравниваем производную к нулю:
$\frac{x^2 - 2}{2x^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
Критические точки: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $2x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $x^2 - 2$.
- На интервалах $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$, выражение $x^2 - 2$ положительно ($y' > 0$), значит функция возрастает.
- На интервалах $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(0, \sqrt{2})$, выражение $x^2 - 2$ отрицательно ($y' < 0$), значит функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -\sqrt{2}$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2+2}{2(-\sqrt{2})} = \frac{2+2}{-2\sqrt{2}} = \frac{4}{-2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
- В точке $x = \sqrt{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2+2}{2\sqrt{2}} = \frac{2+2}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$, убывает на промежутках $[-\sqrt{2}, 0)$ и $(0, \sqrt{2}]$. Точка максимума $x_{max} = -\sqrt{2}$, $y_{max} = -\sqrt{2}$. Точка минимума $x_{min} = \sqrt{2}$, $y_{min} = \sqrt{2}$.

1074. Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте цилиндра $h$.

Периметр этого прямоугольника, согласно условию, равен 6 дм. Составим уравнение: $P = 2(2r + h) = 6$

Из этого уравнения можно выразить высоту $h$ через радиус $r$: $2r + h = 3$ $h = 3 - 2r$

Так как размеры должны быть положительными, имеем ограничения: $r > 0$ и $h > 0$. Из условия $h > 0$ следует, что $3 - 2r > 0$, то есть $2r < 3$ или $r < 1.5$. Таким образом, радиус может принимать значения в интервале $(0; 1.5)$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от радиуса $r$: $V(r) = \pi r^2 (3 - 2r) = 3\pi r^2 - 2\pi r^3$

Для нахождения значения $r$, при котором объём будет наибольшим, необходимо найти точку максимума этой функции. Для этого найдём её производную по $r$ и приравняем к нулю. $V'(r) = (3\pi r^2 - 2\pi r^3)' = 3\pi \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = 6\pi r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $6\pi r - 6\pi r^2 = 0$ $6\pi r(1 - r) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $r_1 = 0$ и $r_2 = 1$.

Значение $r = 0$ не входит в допустимый интервал $(0; 1.5)$, так как при таком радиусе цилиндр вырождается в отрезок и его объём равен нулю. Значение $r = 1$ принадлежит допустимому интервалу $(0; 1.5)$.

Чтобы определить, является ли точка $r = 1$ точкой максимума, воспользуемся второй производной. $V''(r) = (6\pi r - 6\pi r^2)' = 6\pi - 12\pi r$

Вычислим значение второй производной в точке $r = 1$: $V''(1) = 6\pi - 12\pi \cdot 1 = -6\pi$

Поскольку $V''(1) < 0$, точка $r=1$ является точкой максимума. Следовательно, при радиусе основания, равном 1 дм, объём цилиндра будет наибольшим.

Ответ: 1 дм.

1075. Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $54\pi$ см$^2$, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.

Для решения задачи нам нужно найти наибольшее значение функции объёма цилиндра при заданных ограничениях.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности (прямоугольника):

$S_{полн} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна $54\pi \text{ см}^2$, а радиус основания находится в пределах от 2 см до 4 см:

$S_{полн} = 54\pi$

$2 \le r \le 4$

Подставим значение площади в формулу и выразим высоту $h$ через радиус $r$:

$54\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$27 = r^2 + rh$

$rh = 27 - r^2$

$h = \frac{27 - r^2}{r} = \frac{27}{r} - r$

Так как высота $h$ должна быть положительной, то $h > 0$, что означает $\frac{27}{r} - r > 0$, или $r^2 < 27$. Это условие ($r < \sqrt{27} \approx 5.2$) выполняется для всего заданного диапазона $2 \le r \le 4$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма $V$ от одной переменной $r$:

$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{27 - r^2}{r} \right) = \pi r (27 - r^2) = 27\pi r - \pi r^3$

Нам нужно найти наибольшее значение функции $V(r) = 27\pi r - \pi r^3$ на отрезке $[2, 4]$.

Для этого найдём производную функции $V(r)$ по переменной $r$ и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

$V'(r) = (27\pi r - \pi r^3)' = 27\pi - 3\pi r^2$

Приравняем производную к нулю:

$27\pi - 3\pi r^2 = 0$

$3\pi r^2 = 27\pi$

$r^2 = 9$

$r = 3$ (так как радиус не может быть отрицательным)

Критическая точка $r = 3$ принадлежит отрезку $[2, 4]$.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка:

1. При $r = 2$ (нижняя граница):

$V(2) = 27\pi(2) - \pi(2)^3 = 54\pi - 8\pi = 46\pi$

2. При $r = 3$ (критическая точка):

$V(3) = 27\pi(3) - \pi(3)^3 = 81\pi - 27\pi = 54\pi$

3. При $r = 4$ (верхняя граница):

$V(4) = 27\pi(4) - \pi(4)^3 = 108\pi - 64\pi = 44\pi$

Сравнивая полученные значения объёма ($46\pi$, $54\pi$, $44\pi$), мы видим, что наибольшее значение достигается при $r=3$ см.

Таким образом, наибольший возможный объём цилиндра составляет $54\pi \text{ см}^3$.

Ответ: Наибольший возможный объём цилиндра равен $54\pi \text{ см}^3$.

1076. В правильной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ проведена высота $SO$. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что $SO + AC = 9$ и $1 \leq AC \leq 8$.

Пусть сторона основания $AC$ правильной пирамиды $SABC$ равна $a$, а высота $SO$ равна $h$. Согласно условию задачи, имеем два соотношения:
1) $SO + AC = 9$, что в наших обозначениях записывается как $h + a = 9$. Отсюда выразим высоту: $h = 9 - a$.
2) $1 \le AC \le 8$, то есть $1 \le a \le 8$. Это задаёт область определения для стороны основания.

Поскольку пирамида $SABC$ правильная, её основанием является равносторонний треугольник $ABC$. Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле для площади равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Объём пирамиды $V$ находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$. Подставим в неё выражения для площади основания и высоты, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от переменной $a$: $V(a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot (9 - a) = \frac{\sqrt{3}}{12} (9a^2 - a^3)$.

Задача сводится к нахождению такого значения $a$ на отрезке $[1, 8]$, при котором функция $V(a)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдём производную функции $V(a)$ по переменной $a$: $V'(a) = \left( \frac{\sqrt{3}}{12} (9a^2 - a^3) \right)' = \frac{\sqrt{3}}{12} (18a - 3a^2)$.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: $\frac{\sqrt{3}}{12} (18a - 3a^2) = 0$. Поскольку множитель $\frac{\sqrt{3}}{12}$ не равен нулю, то должно выполняться равенство: $18a - 3a^2 = 0$ $3a(6 - a) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $a_1 = 0$ и $a_2 = 6$.

Точка $a_1 = 0$ не принадлежит рассматриваемому отрезку $[1, 8]$. Точка $a_2 = 6$ принадлежит этому отрезку. Наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Поэтому сравним значения объёма в точках $a=1$, $a=6$ и $a=8$. Поскольку постоянный множитель $\frac{\sqrt{3}}{12}$ является положительным, для сравнения значений $V(a)$ достаточно сравнить значения выражения $f(a) = 9a^2 - a^3$:
При $a=1$: $f(1) = 9(1)^2 - 1^3 = 9 - 1 = 8$.
При $a=6$: $f(6) = 9(6)^2 - 6^3 = 9 \cdot 36 - 216 = 324 - 216 = 108$.
При $a=8$: $f(8) = 9(8)^2 - 8^3 = 9 \cdot 64 - 512 = 576 - 512 = 64$.

Сравнивая полученные результаты ($108 > 64 > 8$), видим, что наибольшее значение достигается при $a=6$. Следовательно, объём пирамиды будет наибольшим, когда сторона её основания равна 6.

Ответ: 6.

1077. В правильной четырёхугольной призме диагональ равна $2\sqrt{3}$. При какой высоте призмы её объём наибольший?

Пусть $a$ – сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ – её высота. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат.

Объём призмы $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = a^2 h$.

Диагональ призмы $D$ связана со стороной основания $a$ и высотой $h$ соотношением, которое следует из теоремы Пифагора. Сначала найдем квадрат диагонали основания $d$: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D$, диагональю основания $d$ и высотой призмы $h$. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + h^2$.

Подставим выражение для $d^2$: $D^2 = 2a^2 + h^2$.

По условию задачи диагональ призмы $D = 2\sqrt{3}$. Тогда её квадрат равен: $D^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Получаем уравнение, связывающее размеры призмы: $12 = 2a^2 + h^2$.

Наша цель – найти высоту $h$, при которой объём $V$ будет наибольшим. Для этого выразим объём $V$ как функцию одной переменной $h$. Из последнего уравнения выразим $a^2$: $2a^2 = 12 - h^2$ $a^2 = \frac{12 - h^2}{2}$.

Подставим это выражение для $a^2$ в формулу объёма: $V(h) = a^2 h = \left(\frac{12 - h^2}{2}\right)h = \frac{12h - h^3}{2} = 6h - \frac{1}{2}h^3$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $V(h)$, нужно найти её производную по $h$ и приравнять к нулю. Также учтём, что геометрические размеры должны быть положительными, то есть $h > 0$ и $a^2 > 0$, откуда $12 - h^2 > 0 \Rightarrow h^2 < 12 \Rightarrow h < \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, мы ищем максимум на интервале $(0; 2\sqrt{3})$.

Найдём производную функции объёма: $V'(h) = (6h - \frac{1}{2}h^3)' = 6 - \frac{1}{2} \cdot 3h^2 = 6 - \frac{3}{2}h^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $6 - \frac{3}{2}h^2 = 0$ $6 = \frac{3}{2}h^2$ $12 = 3h^2$ $h^2 = 4$ $h = \pm 2$.

Поскольку высота $h$ должна быть положительной, выбираем значение $h = 2$. Это значение входит в наш интервал $(0; 2\sqrt{3})$, так как $2\sqrt{3} \approx 3.46$.

Чтобы убедиться, что при $h = 2$ достигается именно максимум, воспользуемся второй производной: $V''(h) = (6 - \frac{3}{2}h^2)' = - \frac{3}{2} \cdot 2h = -3h$.

При $h = 2$, вторая производная $V''(2) = -3 \cdot 2 = -6$. Так как $V''(2) < 0$, точка $h = 2$ является точкой максимума.

Таким образом, объём призмы будет наибольшим при высоте $h = 2$.

Ответ: 2.

1078. Для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, необходимо найти ее неопределенный интеграл.

Общий вид первообразной $F(x)$ находится по формуле:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (x^{-2} + \cos x) dx$

Используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
$F(x) = \int x^{-2} dx + \int \cos x dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу интегралов:
$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_1 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1$
$\int \cos x dx = \sin x + C_2$

Следовательно, общий вид первообразной для функции $f(x)$ будет:
$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x + C$, где $C = C_1 + C_2$ — произвольная постоянная.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(0,5\pi; -\frac{2}{\pi})$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение первообразной мы получим верное равенство. Подставим $x = 0,5\pi$ и $F(x) = -\frac{2}{\pi}$ в полученное уравнение:
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{0,5\pi} + \sin(0,5\pi) + C$

Упростим выражение. Мы знаем, что $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$, а $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{1}{\pi/2} + 1 + C$
$-\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi} + 1 + C$

Теперь решим уравнение относительно $C$:
$0 = 1 + C$
$C = -1$

Подставим найденное значение константы $C = -1$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую первообразную.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$

1079. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = x^2(2x - 3) - 12(3x - 2)$

на отрезке $-3 \le x \le 6$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в его критических точках, принадлежащих отрезку, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

1. Заданная функция: $f(x) = x^2(2x - 3) - 12(3x - 2)$.

Сначала упростим выражение функции, раскрыв скобки:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 24$

2. Теперь найдем производную функции $f(x)$, чтобы определить критические точки:

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 24)'$

$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 36$

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 36$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя теорему Виета (или формулу корней), находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные критические точки заданному отрезку $[-3, 6]$.

Точка $x = 3$ принадлежит отрезку $[-3, 6]$.

Точка $x = -2$ также принадлежит отрезку $[-3, 6]$.

4. Вычислим значения функции $f(x)$ на концах отрезка (в точках $x=-3$ и $x=6$) и в найденных критических точках ($x=-2$ и $x=3$):

• При $x = -3$:
  $f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 24 = 2(-27) - 3(9) + 108 + 24 = -54 - 27 + 108 + 24 = 51$
• При $x = -2$:
  $f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 24 = 2(-8) - 3(4) + 72 + 24 = -16 - 12 + 72 + 24 = 68$
• При $x = 3$:
  $f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 24 = 2(27) - 3(9) - 108 + 24 = 54 - 27 - 108 + 24 = -57$
• При $x = 6$:
  $f(6) = 2(6)^3 - 3(6)^2 - 36(6) + 24 = 2(216) - 3(36) - 216 + 24 = 432 - 108 - 216 + 24 = 132$

5. Теперь сравним все вычисленные значения функции: $51, 68, -57, 132$.

Наибольшее значение функции

Выбираем самое большое из полученных значений. Это 132.

Ответ: 132.

Наименьшее значение функции

Выбираем самое маленькое из полученных значений. Это -57.

Ответ: -57.

1080. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 2\ln^3 x - 9\ln^2 x + 12\ln x$

на отрезке $e^{3/4} \le x \le e^3$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2\ln^3 x - 9\ln^2 x + 12\ln x$ на отрезке $[e^{3/4}, e^3]$, мы сначала упростим задачу с помощью замены переменной, а затем применим стандартный алгоритм нахождения экстремумов функции на замкнутом интервале.

Введем замену: $t = \ln x$.

Определим новый интервал для переменной $t$. Поскольку $x \in [e^{3/4}, e^3]$, то $t$ будет находиться в интервале от $\ln(e^{3/4})$ до $\ln(e^3)$.

Нижняя граница: $t_{min} = \ln(e^{3/4}) = \frac{3}{4}$.

Верхняя граница: $t_{max} = \ln(e^3) = 3$.

Таким образом, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ на отрезке $[\frac{3}{4}, 3]$.

Найдем производную функции $g(t)$ для определения критических точек:

$g'(t) = (2t^3 - 9t^2 + 12t)' = 6t^2 - 18t + 12$.

Приравняем производную к нулю: $6t^2 - 18t + 12 = 0$.

Разделим уравнение на 6: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая квадратное уравнение, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Обе критические точки, $t=1$ и $t=2$, принадлежат отрезку $[\frac{3}{4}, 3]$.

Теперь вычислим значения функции $g(t)$ на концах отрезка и в найденных критических точках:

$g(\frac{3}{4}) = 2(\frac{3}{4})^3 - 9(\frac{3}{4})^2 + 12(\frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{27}{64} - 9 \cdot \frac{9}{16} + 9 = \frac{27}{32} - \frac{162}{32} + \frac{288}{32} = \frac{153}{32} = 4\frac{25}{32}$.

$g(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) = 2 - 9 + 12 = 5$.

$g(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 16 - 36 + 24 = 4$.

$g(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) = 54 - 81 + 36 = 9$.

Мы получили четыре значения для сравнения: $4\frac{25}{32}$, $5$, $4$ и $9$. Теперь выберем из них наибольшее и наименьшее.

Наименьшее значение функции

Сравнивая полученные значения $\{4\frac{25}{32}, 5, 4, 9\}$, мы видим, что наименьшим является 4. Это значение функция принимает при $t=2$, что соответствует $x=e^2$.

Ответ: 4.

Наибольшее значение функции

Среди значений $\{4\frac{25}{32}, 5, 4, 9\}$ наибольшим является 9. Это значение функция принимает на конце отрезка при $t=3$, что соответствует $x=e^3$.

Ответ: 9.