Страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1006. Дана функция $y = -2x^2 + 3x + 2$.

1) Построить её график и найти значения $x$, при которых $y(x)<0$.

2) Доказать, что функция убывает на промежутке $[1; 2]$.

3) Найти значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение.

4) Найти значения $x$, при которых график данной функции лежит ниже графика функции $y=3x+2$.

5) Записать уравнения касательных к параболе $y = -2x^2 + 3x + 2$ в точках с ординатой, равной 3.

1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.

Дана функция $y = -2x^2 + 3x + 2$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдём его ключевые точки:

- Вершина параболы. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_в = -b / (2a)$.
$x_в = -3 / (2 \cdot (-2)) = -3 / (-4) = 3/4 = 0.75$.
Координата $y$ вершины:
$y_в = -2(3/4)^2 + 3(3/4) + 2 = -2(9/16) + 9/4 + 2 = -9/8 + 18/8 + 16/8 = 25/8 = 3.125$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3/4, 25/8)$.

- Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -2(0)^2 + 3(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-2x^2 + 3x + 2 = 0$
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = (3 \pm \sqrt{25}) / (2 \cdot 2) = (3 \pm 5) / 4$.
$x_1 = (3 - 5) / 4 = -2/4 = -1/2$.
$x_2 = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-1/2, 0)$ и $(2, 0)$.

Используя эти точки (вершина $(0.75, 3.125)$, пересечение с Oy $(0, 2)$, пересечения с Ox $(-0.5, 0)$ и $(2, 0)$), можно построить параболу.

Теперь найдем значения $x$, при которых $y(x) < 0$. Это соответствует участкам графика, где парабола находится ниже оси Ox. Так как ветви параболы направлены вниз, это будет происходить за пределами корней.
$-2x^2 + 3x + 2 < 0$
Корни уравнения $-2x^2 + 3x + 2 = 0$ мы уже нашли: $x_1 = -1/2$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, неравенство выполняется при $x < -1/2$ или $x > 2$.

Ответ: график функции — парабола с вершиной в точке $(3/4, 25/8)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-1/2, 0)$ и $(2, 0)$, и ось Oy в точке $(0, 2)$. Функция $y(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1/2) \cup (2, \infty)$.

2) Доказать, что функция убывает на промежутке [1; 2].

Для определения промежутков возрастания и убывания функции найдем её производную:
$y' = (-2x^2 + 3x + 2)' = -4x + 3$.
Функция убывает, когда её производная отрицательна, то есть $y' < 0$.
$-4x + 3 < 0$
$-4x < -3$
$4x > 3$
$x > 3/4$.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(3/4, +\infty)$.
Рассмотрим заданный промежуток $[1, 2]$. Так как $[1, 2]$ является подмножеством промежутка $(3/4, +\infty)$ (поскольку $1 > 3/4$), то на всем промежутке $[1, 2]$ функция убывает, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, так как производная $y' = -4x + 3$ отрицательна для всех $x > 3/4$, а промежуток $[1; 2]$ входит в эту область.

3) Найти значение x, при котором функция принимает наибольшее значение.

Функция $y = -2x^2 + 3x + 2$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Следовательно, своё наибольшее значение она принимает в вершине.
Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле $x_в = -b / (2a)$.
$x_в = -3 / (2 \cdot (-2)) = 3/4$.
При этом значении $x$ функция достигает своего максимума.

Ответ: $x = 3/4$.

4) Найти значения x, при которых график данной функции лежит ниже графика функции y = 3x + 2.

Условие "график данной функции лежит ниже графика функции $y = 3x + 2$" математически записывается в виде неравенства:
$-2x^2 + 3x + 2 < 3x + 2$
Перенесём все члены в левую часть:
$-2x^2 + 3x - 3x + 2 - 2 < 0$
$-2x^2 < 0$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Равенство нулю достигается только при $x=0$. Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ справедливо для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

5) Записать уравнения касательных к параболе y = -2x^2 + 3x + 2 в точках с ординатой, равной 3.

Сначала найдём абсциссы точек параболы, в которых ордината $y=3$:
$-2x^2 + 3x + 2 = 3$
$-2x^2 + 3x - 1 = 0$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Найдём корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$x_{1,2} = (3 \pm \sqrt{1}) / (2 \cdot 2) = (3 \pm 1) / 4$.
$x_1 = (3 - 1) / 4 = 2/4 = 1/2$.
$x_2 = (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1$.
Таким образом, у нас есть две точки касания: $(1/2, 3)$ и $(1, 3)$.

Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
Производная функции: $f'(x) = y' = -4x + 3$.

- Касательная в точке $(1/2, 3)$.
Найдём значение производной (угловой коэффициент касательной) в точке $x_0 = 1/2$:
$f'(1/2) = -4(1/2) + 3 = -2 + 3 = 1$.
Уравнение касательной:
$y = 1 \cdot (x - 1/2) + 3$
$y = x - 1/2 + 3$
$y = x + 5/2$.

- Касательная в точке $(1, 3)$.
Найдём значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -4(1) + 3 = -1$.
Уравнение касательной:
$y = -1 \cdot (x - 1) + 3$
$y = -x + 1 + 3$
$y = -x + 4$.

Ответ: $y = x + 5/2$ и $y = -x + 4$.

1007. Совершая воскресную прогулку, автомобилист дважды останавливался для осмотра достопримечательностей. После второй остановки он вернулся домой. На рисунке 143 изображён график движения автомобилиста (по оси абсцисс откладывалось время в часах, по оси ординат — расстояние от дома в километрах). С помощью графика ответить на вопросы:

1) С какой скоростью автомобилист ехал до первой остановки?

2) Сколько времени он потратил на осмотр достопримечательностей?

3) Какова средняя скорость движения автомобилиста (без учёта остановок)?

Рис. 143

1) Для того чтобы найти скорость, с которой автомобилист ехал до первой остановки, необходимо рассмотреть первый участок графика. Этот участок представляет собой прямую линию, начинающуюся в точке $(0; 0)$ и заканчивающуюся в точке $(2; 150)$.
Это означает, что за время $\Delta t = 2 - 0 = 2$ часа автомобилист проехал расстояние $\Delta s = 150 - 0 = 150$ километров.
Скорость движения $v$ на этом участке можно найти по формуле: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.
Подставив значения, получаем: $v = \frac{150 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 75$ км/ч.
Ответ: 75 км/ч.

2) Время, потраченное на осмотр достопримечательностей, соответствует времени остановок. На графике остановки показаны горизонтальными участками, так как расстояние от дома не меняется, а время идет.
Первая остановка началась в момент времени $t=2$ ч и закончилась в $t=4$ ч. Ее длительность составляет $4 - 2 = 2$ часа.
Вторая остановка началась в $t=6$ ч и закончилась в $t=7$ ч. Ее длительность составляет $7 - 6 = 1$ час.
Общее время, потраченное на остановки: $2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 3$ часа.
Ответ: 3 часа.

3) Средняя скорость движения (без учёта остановок) вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени, затраченному на движение.
Сначала найдем общий пройденный путь $S_{общ}$. Он складывается из трех участков движения:

• Путь до первой остановки: $150 - 0 = 150$ км.
• Путь между первой и второй остановками: $250 - 150 = 100$ км.
• Путь домой со второй остановки: $250 - 0 = 250$ км.

Общий путь: $S_{общ} = 150 + 100 + 250 = 500$ км.
Теперь найдем общее время движения $T_{движ}$. Вся поездка длилась 12 часов. Из них, как мы нашли в предыдущем пункте, 3 часа автомобилист стоял.
Время в движении: $T_{движ} = 12 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 9$ ч.
Средняя скорость движения равна: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{движ}} = \frac{500 \text{ км}}{9 \text{ ч}} = 55 \frac{5}{9}$ км/ч.
Ответ: $55 \frac{5}{9}$ км/ч.

1008. На рисунке 144 представлено изменение курса акций некоторой компании в течение октября (по оси абсцисс отложены числа месяца, по оси ординат — стоимость одной акции в рублях). Два брокера 4 октября купили по 90 акций каждый, 12 октября первый из них продал 30 акций, второй — 35 акций. Оставшиеся акции оба брокера продали 30 октября. Которому из брокеров сделка принесла меньшую прибыль? На сколько рублей он получил меньше, чем другой брокер?

$y$

$1015$

$1010$

$1005$

$1000$

$10$

$20$

$30$

$x$

$\frac{x}{8} = y (8)$

Рис. 144

Для решения задачи необходимо рассчитать прибыль каждого брокера. Прибыль вычисляется как разница между суммарным доходом от продажи акций и суммарными затратами на их покупку. Сначала определим по графику стоимость одной акции в дни совершения сделок.

На графике ось абсцисс ($x$) — это дни октября, а ось ординат ($y$) — стоимость одной акции в рублях. График состоит из двух отрезков прямых. Первый отрезок соединяет точки с координатами $(0, 1010)$ и $(20, 1005)$. Второй отрезок соединяет точки $(20, 1005)$ и $(30, 1015)$.

Для нахождения стоимости акций 4 и 12 октября, которые находятся на первом отрезке, составим уравнение прямой, проходящей через точки $(0, 1010)$ и $(20, 1005)$.Угловой коэффициент прямой: $k = \frac{1005 - 1010}{20 - 0} = \frac{-5}{20} = -0.25$.Уравнение прямой, проходящей через точку $(0, 1010)$, имеет вид: $y = -0.25x + 1010$.Теперь определим стоимость акции в ключевые даты:

• Стоимость 4 октября (при $x=4$): $y(4) = -0.25 \cdot 4 + 1010 = -1 + 1010 = 1009$ рублей.
• Стоимость 12 октября (при $x=12$): $y(12) = -0.25 \cdot 12 + 1010 = -3 + 1010 = 1007$ рублей.
• Стоимость 30 октября (при $x=30$): по графику равна $1015$ рублей.

Теперь, зная все необходимые цены, рассчитаем прибыль для каждого брокера.

Прибыль первого брокера
Затраты на покупку 90 акций 4 октября составили: $90 \text{ акций} \times 1009 \text{ руб./акцию} = 90810$ рублей.
Доход от продажи 30 акций 12 октября: $30 \text{ акций} \times 1007 \text{ руб./акцию} = 30210$ рублей.
Осталось акций: $90 - 30 = 60$.
Доход от продажи 60 акций 30 октября: $60 \text{ акций} \times 1015 \text{ руб./акцию} = 60900$ рублей.
Общий доход первого брокера: $30210 + 60900 = 91110$ рублей.
Прибыль первого брокера: $91110 - 90810 = 300$ рублей.

Прибыль второго брокера
Затраты на покупку у него такие же: $90 \text{ акций} \times 1009 \text{ руб./акцию} = 90810$ рублей.
Доход от продажи 35 акций 12 октября: $35 \text{ акций} \times 1007 \text{ руб./акцию} = 35245$ рублей.
Осталось акций: $90 - 35 = 55$.
Доход от продажи 55 акций 30 октября: $55 \text{ акций} \times 1015 \text{ руб./акцию} = 55825$ рублей.
Общий доход второго брокера: $35245 + 55825 = 91070$ рублей.
Прибыль второго брокера: $91070 - 90810 = 260$ рублей.

Сравнение прибыли
Прибыль первого брокера составила $300$ рублей, а второго — $260$ рублей.Следовательно, сделкa принесла меньшую прибыль второму брокеру.
Найдем, на сколько рублей он получил меньше, чем первый: $300 - 260 = 40$ рублей.

Ответ: Меньшую прибыль получил второй брокер. Он получил на 40 рублей меньше, чем другой брокер.