Страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти действительные решения системы уравнений (940–944).

940. 1) $\begin{cases} y + 5 = x^2, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy = 16, \\ \frac{x}{y} = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96, \\ x = 2y. \end{cases}$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y + 5 = x^2 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$ Это система нелинейных уравнений. Для ее решения воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения уже выражено $x^2$: $$ x^2 = y + 5 $$ Подставим это выражение для $x^2$ во второе уравнение системы: $$ (y + 5) + y^2 = 25 $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $y$: $$ y^2 + y + 5 - 25 = 0 $$ $$ y^2 + y - 20 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно -20, а их сумма равна -1. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и -5. Либо можно использовать формулу для корней квадратного уравнения: $$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 $$ $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} $$ Отсюда получаем два корня: $$ y_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ y_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$ Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x^2 = y + 5$.
1. При $y = 4$: $$ x^2 = 4 + 5 = 9 $$ Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Таким образом, мы получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(-3, 4)$.
2. При $y = -5$: $$ x^2 = -5 + 5 = 0 $$ Это уравнение имеет один корень: $x_3 = 0$. Мы получаем еще одну пару решений: $(0, -5)$.
В результате мы нашли три действительных решения системы.

Ответ: $(3, 4)$, $(-3, 4)$, $(0, -5)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = 16 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует, что $y \neq 0$. Выразим $x$ из второго уравнения: $$ x = 4y $$ Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ (4y) \cdot y = 16 $$ $$ 4y^2 = 16 $$ Разделим обе части уравнения на 4: $$ y^2 = 4 $$ Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$ по формуле $x = 4y$.
1. При $y = 2$: $$ x = 4 \cdot 2 = 8 $$ Получаем пару решений: $(8, 2)$.
2. При $y = -2$: $$ x = 4 \cdot (-2) = -8 $$ Получаем вторую пару решений: $(-8, -2)$.
Оба решения являются действительными.

Ответ: $(8, 2)$, $(-8, -2)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96 \\ x = 2y \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Второе уравнение уже выражает $x$ через $y$. Подставим $x = 2y$ в первое уравнение: $$ (2y)^2 + 2y^2 = 96 $$ Возведем в квадрат и упростим полученное уравнение: $$ 4y^2 + 2y^2 = 96 $$ $$ 6y^2 = 96 $$ Разделим обе части на 6: $$ y^2 = \frac{96}{6} $$ $$ y^2 = 16 $$ Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя соотношение $x = 2y$.
1. При $y = 4$: $$ x = 2 \cdot 4 = 8 $$ Получаем пару решений: $(8, 4)$.
2. При $y = -4$: $$ x = 2 \cdot (-4) = -8 $$ Получаем вторую пару решений: $(-8, -4)$.
Оба решения являются действительными.

Ответ: $(8, 4)$, $(-8, -4)$.

941. 1) $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 13, \\ x - y = 1; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = 23. \end{cases}$$

1) Решим данную систему уравнений:$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 13 \\ x - y = 1 \end{cases} $$Воспользуемся методом подстановки. Из второго, более простого, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$x = y + 1$.
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(y + 1)^2 - y^2 = 13$.
Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(y^2 + 2y + 1) - y^2 = 13$.
Упростим полученное уравнение, приведя подобные слагаемые:
$y^2 + 2y + 1 - y^2 = 13$
$2y + 1 = 13$.
Решим это простое линейное уравнение относительно $y$:
$2y = 13 - 1$
$2y = 12$
$y = \frac{12}{2} = 6$.
Найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=6$ в выражение $x = y + 1$:
$x = 6 + 1 = 7$.
Таким образом, решением системы является пара чисел $(7, 6)$. Сделаем проверку, подставив значения в исходные уравнения:
$7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$ (верно).
$7 - 6 = 1$ (верно).
Ответ: $(7; 6)$

2) Решим систему уравнений:$$ \begin{cases} x^2 - 3y = -5 \\ 7x + 3y = 23 \end{cases} $$Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ в уравнениях являются противоположными числами ($-3$ и $3$).
Сложим левые и правые части уравнений почленно:
$(x^2 - 3y) + (7x + 3y) = -5 + 23$.
Упростим полученное уравнение:
$x^2 + 7x = 18$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 7x - 18 = 0$.
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Мы получили два значения для $x$. Для каждого из них найдем соответствующее значение $y$. Для этого подставим найденные значения $x$ во второе уравнение $7x + 3y = 23$.
Выразим $y$: $3y = 23 - 7x \implies y = \frac{23 - 7x}{3}$.
1. Для $x_1 = -9$:
$y_1 = \frac{23 - 7(-9)}{3} = \frac{23 + 63}{3} = \frac{86}{3}$.
Первая пара решений: $(-9; \frac{86}{3})$.
2. Для $x_2 = 2$:
$y_2 = \frac{23 - 7(2)}{3} = \frac{23 - 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Вторая пара решений: $(2; 3)$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-9; \frac{86}{3}), (2; 3)$

942. 1) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{3}{2}, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3\frac{1}{3}, \\ x^2 - y^2 = 8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 = 13x + 4y, \\ y^2 = 4x + 13y; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + y^2 - 4x = 40, \\ 2x^2 + y^2 + 3x = 52. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{3}{2} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.
Введем замену: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда первое уравнение примет вид:
$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение относительно $t$:
$\frac{t^2 - 1}{t} = \frac{3}{2}$
$2(t^2 - 1) = 3t$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = 2$
$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2y)^2 + y^2 = 20$
$4y^2 + y^2 = 20$
$5y^2 = 20 \implies y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2, y_2 = -2$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем решение $(4, 2)$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Получаем решение $(-4, -2)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 + (-2x)^2 = 20$
$x^2 + 4x^2 = 20$
$5x^2 = 20 \implies x^2 = 4$, откуда $x_3 = 2, x_4 = -2$.
Если $x_3 = 2$, то $y_3 = -2 \cdot 2 = -4$. Получаем решение $(2, -4)$.
Если $x_4 = -2$, то $y_4 = -2 \cdot (-2) = 4$. Получаем решение $(-2, 4)$.
Ответ: $(4, 2), (-4, -2), (2, -4), (-2, 4)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3\frac{1}{3} \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} $.
ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.
Преобразуем первое уравнение: $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{10}{3}$.
Введем замену: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда первое уравнение примет вид:
$\frac{1}{t} + t = \frac{10}{3}$
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение относительно $t$:
$3 + 3t^2 = 10t$
$3t^2 - 10t + 3 = 0$
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{6} = \frac{10 + 8}{6} = 3$
$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{6} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.
Подставим во второе уравнение системы:
$(3y)^2 - y^2 = 8$
$9y^2 - y^2 = 8 \implies 8y^2 = 8 \implies y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1, y_2 = -1$.
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Получаем решение $(3, 1)$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Получаем решение $(-3, -1)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, откуда $y = 3x$.
Подставим во второе уравнение системы:
$x^2 - (3x)^2 = 8$
$x^2 - 9x^2 = 8 \implies -8x^2 = 8 \implies x^2 = -1$. В этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(3, 1), (-3, -1)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 = 13x + 4y \\ y^2 = 4x + 13y \end{cases} $.
Вычтем из первого уравнения второе:
$x^2 - y^2 = (13x + 4y) - (4x + 13y)$
$x^2 - y^2 = 9x - 9y$
$(x - y)(x + y) = 9(x - y)$
$(x - y)(x + y) - 9(x - y) = 0$
$(x - y)(x + y - 9) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - y = 0$, откуда $x = y$.
Подставим $x=y$ в первое уравнение системы:
$x^2 = 13x + 4x \implies x^2 = 17x \implies x^2 - 17x = 0 \implies x(x - 17) = 0$.
$x_1 = 0$ или $x_2 = 17$.
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.
Если $x_2 = 17$, то $y_2 = 17$. Получаем решение $(17, 17)$.
Случай 2: $x + y - 9 = 0$, откуда $y = 9 - x$.
Подставим $y = 9 - x$ в первое уравнение системы:
$x^2 = 13x + 4(9 - x)$
$x^2 = 13x + 36 - 4x$
$x^2 - 9x - 36 = 0$
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$.
$x_3 = \frac{9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{9+15}{2} = 12$
$x_4 = \frac{9 - \sqrt{225}}{2} = \frac{9-15}{2} = -3$
Если $x_3 = 12$, то $y_3 = 9 - 12 = -3$. Получаем решение $(12, -3)$.
Если $x_4 = -3$, то $y_4 = 9 - (-3) = 12$. Получаем решение $(-3, 12)$.
Ответ: $(0, 0), (17, 17), (12, -3), (-3, 12)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x^2 + y^2 - 4x = 40 \\ 2x^2 + y^2 + 3x = 52 \end{cases} $.
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от $y^2$:
$(3x^2 + y^2 - 4x) - (2x^2 + y^2 + 3x) = 40 - 52$
$x^2 - 7x = -12$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3, x_2 = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ во второе уравнение $y^2 = 52 - 2x^2 - 3x$.
Случай 1: $x = 3$.
$y^2 = 52 - 2(3^2) - 3(3) = 52 - 18 - 9 = 25$
$y^2 = 25$, откуда $y_1 = 5, y_2 = -5$.
Получаем два решения: $(3, 5)$ и $(3, -5)$.
Случай 2: $x = 4$.
$y^2 = 52 - 2(4^2) - 3(4) = 52 - 32 - 12 = 8$
$y^2 = 8$, откуда $y_3 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, y_4 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.
Получаем еще два решения: $(4, 2\sqrt{2})$ и $(4, -2\sqrt{2})$.
Ответ: $(3, 5), (3, -5), (4, 2\sqrt{2}), (4, -2\sqrt{2})$.

943. 1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^4}{y^2} + xy = 72, \\ \frac{y^4}{x^2} + xy = 9; \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3}{2y} + 3xy = 25, \\ \frac{y^3}{x} - 2xy = 16. \end{array} \right.$

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x^4}{y^2} + xy = 72 \\ \frac{y^4}{x^2} + xy = 9 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Сделаем замену переменных. Пусть $u = \frac{x^2}{y}$ и $v = \frac{y^2}{x}$.
Тогда произведение $uv = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = xy$.
Система уравнений в новых переменных примет вид:
$ \begin{cases} u^2 + uv = 72 \\ v^2 + uv = 9 \end{cases} $
Вынесем общие множители за скобки:
$ \begin{cases} u(u+v) = 72 \\ v(u+v) = 9 \end{cases} $
Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю ($9 \neq 0$), то $v \neq 0$ и $(u+v) \neq 0$. Мы можем разделить первое уравнение на второе:
$\frac{u(u+v)}{v(u+v)} = \frac{72}{9}$
$\frac{u}{v} = 8 \implies u = 8v$.
Подставим $u = 8v$ во второе уравнение $v(u+v) = 9$:
$v(8v+v) = 9 \implies v(9v) = 9 \implies 9v^2 = 9 \implies v^2 = 1$.
Отсюда получаем два возможных значения для $v$: $v = 1$ и $v = -1$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $v = 1$.
Тогда $u = 8v = 8(1) = 8$. Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} = 8 \\ \frac{y^2}{x} = 1 \end{cases} $
Из второго уравнения выражаем $x = y^2$. Подставляем в первое уравнение:
$\frac{(y^2)^2}{y} = 8 \implies \frac{y^4}{y} = 8 \implies y^3 = 8$.
Отсюда $y=2$. Тогда $x = y^2 = 2^2 = 4$.
Получили решение $(4, 2)$.
Случай 2: $v = -1$.
Тогда $u = 8v = 8(-1) = -8$. Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} = -8 \\ \frac{y^2}{x} = -1 \end{cases} $
Из второго уравнения выражаем $x = -y^2$. Подставляем в первое уравнение:
$\frac{(-y^2)^2}{y} = -8 \implies \frac{y^4}{y} = -8 \implies y^3 = -8$.
Отсюда $y=-2$. Тогда $x = -y^2 = -(-2)^2 = -4$.
Получили решение $(-4, -2)$.
Проверка подтверждает, что обе пары являются решениями системы.
Ответ: $(4, 2), (-4, -2)$.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x^3}{2y} + 3xy = 25 \\ \frac{y^3}{x} - 2xy = 16 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Сделаем подстановку $y = tx$. Подставим это выражение в оба уравнения системы.
Первое уравнение:
$\frac{x^3}{2(tx)} + 3x(tx) = 25 \implies \frac{x^2}{2t} + 3tx^2 = 25 \implies x^2(\frac{1}{2t} + 3t) = 25$.
$x^2(\frac{1+6t^2}{2t}) = 25 \implies x^2 = \frac{50t}{1+6t^2}$.
Второе уравнение:
$\frac{(tx)^3}{x} - 2x(tx) = 16 \implies t^3x^2 - 2tx^2 = 16 \implies x^2(t^3-2t) = 16$.
$x^2 = \frac{16}{t^3-2t}$.
Приравняем выражения для $x^2$:
$\frac{50t}{1+6t^2} = \frac{16}{t^3-2t}$
$50t(t^3-2t) = 16(1+6t^2)$
$50t^4 - 100t^2 = 16 + 96t^2$
$50t^4 - 196t^2 - 16 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$25t^4 - 98t^2 - 8 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z=t^2$, где $z \ge 0$:
$25z^2 - 98z - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-98)^2 - 4(25)(-8) = 9604 + 800 = 10404 = 102^2$.
$z = \frac{98 \pm 102}{2 \cdot 25} = \frac{98 \pm 102}{50}$.
$z_1 = \frac{98+102}{50} = \frac{200}{50} = 4$.
$z_2 = \frac{98-102}{50} = -\frac{4}{50}$. Этот корень не подходит, так как $z \ge 0$.
Итак, $t^2 = 4$, откуда $t = 2$ или $t = -2$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $t = 2$.
Это означает $y/x = 2$, то есть $y=2x$. Подставим $t=2$ в выражение $x^2(t^3-2t)=16$:
$x^2(2^3 - 2 \cdot 2) = 16 \implies x^2(8-4)=16 \implies 4x^2=16 \implies x^2=4$.
Отсюда $x=2$ или $x=-2$.
Если $x=2$, то $y=2x=2(2)=4$. Получаем решение $(2, 4)$.
Если $x=-2$, то $y=2x=2(-2)=-4$. Получаем решение $(-2, -4)$.
Случай 2: $t = -2$.
Это означает $y/x = -2$, то есть $y=-2x$. Подставим $t=-2$ в выражение $x^2(t^3-2t)=16$:
$x^2((-2)^3 - 2(-2)) = 16 \implies x^2(-8+4)=16 \implies -4x^2=16 \implies x^2=-4$.
Это уравнение не имеет действительных решений.
Проверка подтверждает, что найденные пары чисел являются решениями.
Ответ: $(2, 4), (-2, -4)$.

944. 1) $\frac{x}{y} + x^4y = \frac{1}{xy^2} + x^2,$
$\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0;$

2) $x + \frac{1}{x^3y^3} = x^3y + \frac{1}{xy^2},$
$\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0.$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + x^4y = \frac{1}{xy^2} + x^2, \\ \frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Преобразуем первое уравнение системы. Перенесем члены из правой части в левую и сгруппируем их:

$\left(\frac{x}{y} - \frac{1}{xy^2}\right) + (x^4y - x^2) = 0$

Приведем к общему знаменателю в первой скобке и вынесем общий множитель во второй:

$\frac{x^2y - 1}{xy^2} + x^2(x^2y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2y - 1)$ за скобки:

$(x^2y - 1)\left(\frac{1}{xy^2} + x^2\right) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: $x^2y - 1 = 0 \implies x^2y = 1$.

Случай 2: $\frac{1}{xy^2} + x^2 = 0 \implies x^3y^2 = -1$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные соотношения во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0$.

Разбор Случая 1: $x^2y = 1$

Из этого соотношения выразим $y = \frac{1}{x^2}$. Тогда $x^2y^2 = (x^2y)y = 1 \cdot y = y$.
Подставим это во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + y + 4y^2 = 0$

Теперь заменим $y$ на $\frac{1}{x^2}$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 4\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = 0$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^4} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x^4$ (так как $x \ne 0$):

$x^3 + x^2 + 4 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его целые корни среди делителей свободного члена (числа 4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Проверкой убеждаемся, что $x = -2$ является корнем: $(-2)^3 + (-2)^2 + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 + x^2 + 4$ на $(x+2)$:
$(x+2)(x^2 - x + 2) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 2$ равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$, поэтому других действительных корней нет.
Единственный действительный корень — $x = -2$.
Найдем соответствующее значение $y$: $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, мы получили решение $(-2, \frac{1}{4})$.

Разбор Случая 2: $x^3y^2 = -1$

Из этого соотношения имеем $x^2y^2 = -\frac{1}{x}$.
Подставим это во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^2y^2 + 4y^2 = 0$.

$\frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x}\right) + 4y^2 = 0$

$4y^2 = 0 \implies y = 0$.

Это противоречит области допустимых значений ($y \ne 0$). Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является пара чисел, найденная в первом случае.

Ответ: $(-2, \frac{1}{4})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + \frac{1}{x^3y^3} = x^3y + \frac{1}{xy^2}, \\ \frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0. \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Преобразуем первое уравнение, сгруппировав члены:

$x - x^3y = \frac{1}{xy^2} - \frac{1}{x^3y^3}$

Вынесем общие множители:

$x(1 - x^2y) = \frac{x^2y - 1}{x^3y^3}$

$x(1 - x^2y) = -\frac{1 - x^2y}{x^3y^3}$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(1 - x^2y)$:

$(1 - x^2y)\left(x + \frac{1}{x^3y^3}\right) = 0$

Это уравнение также распадается на два случая:

Случай 1: $1 - x^2y = 0 \implies x^2y = 1$.

Случай 2: $x + \frac{1}{x^3y^3} = 0 \implies x^4y^3 = -1$.

Рассмотрим каждый случай, подставляя во второе уравнение: $\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0$.

Разбор Случая 1: $x^2y = 1$

Из этого соотношения $y = \frac{1}{x^2}$.
Тогда $x^3y^3 = x^3 \left(\frac{1}{x^2}\right)^3 = x^3 \cdot \frac{1}{x^6} = \frac{1}{x^3}$.
И $y^2 = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}$.
Подставим эти выражения во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + 10\left(\frac{1}{x^4}\right) = 0$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{10}{x^4} = 0$

Умножим обе части на $x^4$ (так как $x \ne 0$):

$x^3 + x + 10 = 0$

Это кубическое уравнение. Целые корни ищем среди делителей числа 10: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.
Проверкой находим корень $x = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 + x + 10$ на $(x+2)$:
$(x+2)(x^2 - 2x + 5) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 5$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$, поэтому других действительных корней нет.
Единственный действительный корень — $x = -2$.
Найдем $y$: $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Получено решение $(-2, \frac{1}{4})$.

Разбор Случая 2: $x^4y^3 = -1$

Из этого соотношения $x^3y^3 = -\frac{1}{x}$.
Подставим это во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + x^3y^3 + 10y^2 = 0$.

$\frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x}\right) + 10y^2 = 0$

$10y^2 = 0 \implies y = 0$.

Это противоречит ОДЗ ($y \ne 0$), значит, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением системы является пара чисел, найденная в первом случае.

Ответ: $(-2, \frac{1}{4})$.

Решить систему уравнений (945–948).

945. 1) $\begin{cases} 2^{x+y} = 32, \\ 3^{3y-x} = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x - 2 \cdot 2^y = 77, \\ \frac{x}{3^2} - 2y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \lg x + \lg y = 4, \\ x^{\lg y} = 1000. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:
$\begin{cases}2^{x+y} = 32 \\3^{3y-x} = 27\end{cases}$
Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями 2 и 3 соответственно:
$32 = 2^5$
$27 = 3^3$
Тогда система примет вид:
$\begin{cases}2^{x+y} = 2^5 \\3^{3y-x} = 3^3\end{cases}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\begin{cases}x+y = 5 \\3y-x = 3\end{cases}$
Получилась система линейных уравнений. Сложим первое уравнение со вторым:
$(x+y) + (3y-x) = 5+3$
$4y = 8$
$y = 2$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы:
$x+2 = 5$
$x = 3$
Проверим решение: $2^{3+2} = 2^5 = 32$; $3^{3 \cdot 2 - 3} = 3^{6-3} = 3^3 = 27$. Решение верное.
Ответ: (3, 2).

2)Дана система уравнений:
$\begin{cases}3^x - 2 \cdot 2^y = 77 \\3^{\frac{x}{2}} - 2y = 7\end{cases}$
Во втором уравнении, скорее всего, опечатка, и оно должно иметь вид $3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7$, так как смешение показательных и линейных функций в таких задачах нетипично. Будем решать исправленную систему:
$\begin{cases}3^x - 2 \cdot 2^y = 77 \\3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7\end{cases}$
Введем замену переменных. Пусть $u = 3^{\frac{x}{2}}$ и $v = 2^y$. Заметим, что $u > 0$ и $v > 0$.
Тогда $3^x = (3^{\frac{x}{2}})^2 = u^2$. Система примет вид:
$\begin{cases}u^2 - 2v = 77 \\u - v = 7\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $v$: $v = u - 7$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$u^2 - 2(u-7) = 77$
$u^2 - 2u + 14 = 77$
$u^2 - 2u - 63 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $u_1 = 9$ и $u_2 = -7$.
Так как $u=3^{\frac{x}{2}}$, значение $u$ должно быть положительным, поэтому корень $u = -7$ не подходит.
Остается $u = 9$.
Вернемся к исходным переменным:
$3^{\frac{x}{2}} = 9 = 3^2$
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Теперь найдем $v$:
$v = u - 7 = 9 - 7 = 2$
$2^y = 2 = 2^1$
$y = 1$
Проверим решение (4, 1) в исправленной системе: $3^4 - 2 \cdot 2^1 = 81 - 4 = 77$; $3^{4/2} - 2^1 = 3^2 - 2 = 9-2 = 7$. Решение верное.
Ответ: (4, 1).

3)Дана система уравнений:
$\begin{cases}3^x \cdot 2^y = 576 \\\log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4\end{cases}$
Сначала решим второе, логарифмическое, уравнение. Область допустимых значений: $y-x > 0$.
По определению логарифма:
$y - x = (\sqrt{2})^4$
$y - x = (2^{\frac{1}{2}})^4 = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4$
$y = x + 4$
Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$
$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$
$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$
$6^x \cdot 16 = 576$
$6^x = \frac{576}{16}$
$6^x = 36$
$6^x = 6^2$
$x = 2$
Найдем $y$:
$y = x + 4 = 2 + 4 = 6$
Проверим ОДЗ: $y-x = 6-2=4 > 0$.
Ответ: (2, 6).

4)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\lg x + \lg y = 4 \\x^{\lg y} = 1000\end{cases}$
Область допустимых значений: $x>0$, $y>0$.
Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\lg(xy) = 4$
По определению десятичного логарифма:
$xy = 10^4 = 10000$
Теперь прологарифмируем обе части второго уравнения по основанию 10:
$\lg(x^{\lg y}) = \lg(1000)$
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \log_a b$, получим:
$\lg y \cdot \lg x = 3$
Введем замену переменных: пусть $a = \lg x$ и $b = \lg y$. Система примет вид:
$\begin{cases}a + b = 4 \\a \cdot b = 3\end{cases}$
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Найдем корни: $(t-1)(t-3) = 0$, откуда $t_1=1$, $t_2=3$.
Это дает нам два случая:
Случай 1: $a = 1, b = 3$.
$\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$
$\lg y = 3 \implies y = 10^3 = 1000$
Получаем решение (10, 1000).
Случай 2: $a = 3, b = 1$.
$\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$
$\lg y = 1 \implies y = 10^1 = 10$
Получаем решение (1000, 10).
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (10, 1000), (1000, 10).

946. 1) $\begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

2) $ \begin{cases} x^2 + y^4 = 16, \\ \log_2 x + 2\log_2 y = 3. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0. \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $\log_4 x - \log_2 y = 0$.
Приведем логарифмы к одному основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$.

Подставим это в первое уравнение:
$\frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 y = 0$
$\frac{1}{2}\log_2 x = \log_2 y$
Используя свойство логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$, получаем:
$\log_2 x^{1/2} = \log_2 y$
$\log_2 \sqrt{x} = \log_2 y$
Так как логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:
$\sqrt{x} = y$.

Теперь подставим выражение $y = \sqrt{x}$ во второе уравнение системы $x^2 - 5y^2 + 4 = 0$:
$x^2 - 5(\sqrt{x})^2 + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Оба значения $x$ удовлетворяют условию ОДЗ ($x > 0$). Найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \sqrt{x}$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \sqrt{1} = 1$.
Если $x_2 = 4$, то $y_2 = \sqrt{4} = 2$.

Полученные значения $y_1=1$ и $y_2=2$ также удовлетворяют условию ОДЗ ($y > 0$).
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 1)$, $(4; 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^4 = 16, \\ \log_2 x + 2\log_2 y = 3. \end{cases} $$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов:
$\log_2 x + \log_2 y^2 = 3$
$\log_2 (x y^2) = 3$.

По определению логарифма:
$x y^2 = 2^3$
$x y^2 = 8$.

Из этого уравнения выразим $x$:
$x = \frac{8}{y^2}$.
Заметим, что так как $y > 0$, то $y^2 > 0$, и следовательно $x = \frac{8}{y^2} > 0$, что соответствует ОДЗ.

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы $x^2 + y^4 = 16$:
$(\frac{8}{y^2})^2 + y^4 = 16$
$\frac{64}{y^4} + y^4 = 16$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = y^4$. Так как $y > 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$\frac{64}{t} + t = 16$.

Домножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$64 + t^2 = 16t$
$t^2 - 16t + 64 = 0$.

Это полный квадрат:
$(t - 8)^2 = 0$
$t = 8$.

Это значение удовлетворяет условию $t > 0$. Вернемся к переменной $y$:
$y^4 = 8$
$y = \sqrt[4]{8}$ (мы берем только положительный корень, так как $y>0$).

Теперь найдем $x$ из выражения $x = \frac{8}{y^2}$:
$y^2 = (\sqrt[4]{8})^2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$x = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Получили единственное решение системы, которое удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2\sqrt{2}; \sqrt[4]{8})$.

947. $\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 9, \\ \sqrt{y} - \sqrt{x} = 1. \end{cases}$

Решим данную систему уравнений:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения следует, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Также из второго уравнения $\sqrt{y} = 1 + \sqrt{x}$ и того факта, что $\sqrt{x} \ge 0$, следует, что $\sqrt{y} \ge 1$, а значит $y \ge 1$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 1$.

Преобразуем первое уравнение системы, приведя все степени к основанию 3:

$9^x \cdot 3^y = 9$

$(3^2)^x \cdot 3^y = 3^2$

$3^{2x} \cdot 3^y = 3^2$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{2x+y} = 3^2$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x + y = 2$

Теперь у нас есть новая, более простая система:

Из второго уравнения выразим $\sqrt{y}$:

$\sqrt{y} = 1 + \sqrt{x}$

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы выразить $y$:

$y = (1 + \sqrt{x})^2$

$y = 1 + 2\sqrt{x} + x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $2x + y = 2$:

$2x + (1 + 2\sqrt{x} + x) = 2$

$3x + 2\sqrt{x} + 1 = 2$

$3x + 2\sqrt{x} - 1 = 0$

Получили уравнение относительно $\sqrt{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), имеем $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

$\sqrt{D} = 4$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Поскольку мы ввели ограничение $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается один корень $t_1 = \frac{1}{3}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x} = t = \frac{1}{3}$

$x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $2x + y = 2$:

$2 \cdot (\frac{1}{9}) + y = 2$

$\frac{2}{9} + y = 2$

$y = 2 - \frac{2}{9} = \frac{18}{9} - \frac{2}{9} = \frac{16}{9}$

Получили решение $(x, y) = (\frac{1}{9}, \frac{16}{9})$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x = \frac{1}{9} \ge 0$ и $y = \frac{16}{9} \ge 1$. Условия выполнены.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему уравнений.

1. Проверка первого уравнения: $9^x \cdot 3^y = 9$

$9^{1/9} \cdot 3^{16/9} = (3^2)^{1/9} \cdot 3^{16/9} = 3^{2/9} \cdot 3^{16/9} = 3^{2/9 + 16/9} = 3^{18/9} = 3^2 = 9$.

$9 = 9$. Верно.

2. Проверка второго уравнения: $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1$

$\sqrt{\frac{16}{9}} - \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

$1 = 1$. Верно.

Оба уравнения обращаются в верные равенства, следовательно, найденное решение является верным.

Ответ: $(\frac{1}{9}; \frac{16}{9})$.

948. 1) $\log_2(x^2y + 2xy^2) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4,$
$\log_5\left|\frac{xy}{6}\right| = 0;$

2) $\log_2\left(x^2y + \frac{xy^2}{2}\right) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = 3,$
$\log_{\frac{1}{5}}\left|\frac{xy}{6}\right| = 0.$

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2(x^2y + 2xy^2) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4 \\ \log_5\left|\frac{xy}{6}\right| = 0 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. $x^2y + 2xy^2 > 0 \implies xy(x+2y) > 0$

2. $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} > 0 \implies \frac{2y+x}{xy} > 0$

3. $\left|\frac{xy}{6}\right| > 0 \implies xy \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Из условий (1) и (2) следует, что выражения $xy$ и $x+2y$ должны иметь одинаковые знаки.

Начнем с упрощения второго уравнения системы:

$\log_5\left|\frac{xy}{6}\right| = 0$

По определению логарифма:

$\left|\frac{xy}{6}\right| = 5^0 = 1$

$\left|xy\right| = 6$, что равносильно $xy = 6$ или $xy = -6$.

Теперь упростим первое уравнение. Используем свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$:

$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = -\log_2\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right)$

Тогда первое уравнение принимает вид:

$\log_2(x^2y + 2xy^2) + \log_2\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4$

Преобразуем выражения в скобках:

$x^2y + 2xy^2 = xy(x+2y)$

$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2y+x}{xy}$

Подставим их обратно в уравнение:

$\log_2(xy(x+2y)) + \log_2\left(\frac{x+2y}{xy}\right) = 4$

Используя свойство $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$, получаем:

$\log_2\left(xy(x+2y) \cdot \frac{x+2y}{xy}\right) = 4$

$\log_2((x+2y)^2) = 4$

По определению логарифма:

$(x+2y)^2 = 2^4 = 16$, что равносильно $x+2y = 4$ или $x+2y = -4$.

Теперь рассмотрим два случая, исходя из ОДЗ (знаки $xy$ и $x+2y$ должны совпадать).

Случай 1: $xy = 6$ (положительно) и $x+2y = 4$ (положительно).

$$ \begin{cases} xy = 6 \\ x+2y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x = 4-2y$ и подставим в первое:

$(4-2y)y = 6$

$4y - 2y^2 = 6$

$2y^2 - 4y + 6 = 0$

$y^2 - 2y + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $xy = -6$ (отрицательно) и $x+2y = -4$ (отрицательно).

$$ \begin{cases} xy = -6 \\ x+2y = -4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x = -4-2y$ и подставим в первое:

$(-4-2y)y = -6$

$-4y - 2y^2 = -6$

$2y^2 + 4y - 6 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -4 - 2(1) = -6$. Получаем пару $(-6, 1)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$. Получаем пару $(2, -3)$.

Обе пары удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $(-6, 1), (2, -3)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2\left(x^2y + \frac{xy^2}{2}\right) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = 3 \\ \log_{\frac{1}{5}}\left|\frac{xy}{6}\right| = 0 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x^2y + \frac{xy^2}{2} > 0 \implies \frac{xy(2x+y)}{2} > 0$

2. $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} > 0 \implies \frac{y+2x}{xy} > 0$

3. $\left|\frac{xy}{6}\right| > 0 \implies xy \neq 0$.

Из условий (1) и (2) следует, что выражения $xy$ и $2x+y$ должны иметь одинаковые знаки.

Начнем с упрощения второго уравнения системы:

$\log_{\frac{1}{5}}\left|\frac{xy}{6}\right| = 0$

По определению логарифма:

$\left|\frac{xy}{6}\right| = \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1$

$\left|xy\right| = 6$, что равносильно $xy = 6$ или $xy = -6$.

Теперь упростим первое уравнение. Используем свойство $\log_{1/a} b = -\log_a b$:

$\log_2\left(x^2y + \frac{xy^2}{2}\right) + \log_2\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = 3$

Преобразуем выражения в скобках:

$x^2y + \frac{xy^2}{2} = \frac{2x^2y+xy^2}{2} = \frac{xy(2x+y)}{2}$

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{y+2x}{xy}$

Подставим их в уравнение:

$\log_2\left(\frac{xy(2x+y)}{2}\right) + \log_2\left(\frac{2x+y}{xy}\right) = 3$

Используя свойство суммы логарифмов:

$\log_2\left(\frac{xy(2x+y)}{2} \cdot \frac{2x+y}{xy}\right) = 3$

$\log_2\left(\frac{(2x+y)^2}{2}\right) = 3$

По определению логарифма:

$\frac{(2x+y)^2}{2} = 2^3 = 8$

$(2x+y)^2 = 16$, что равносильно $2x+y = 4$ или $2x+y = -4$.

Рассмотрим два случая, исходя из ОДЗ (знаки $xy$ и $2x+y$ должны совпадать).

Случай 1: $xy = 6$ (положительно) и $2x+y = 4$ (положительно).

$$ \begin{cases} xy = 6 \\ 2x+y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y = 4-2x$ и подставим в первое:

$x(4-2x) = 6$

$4x - 2x^2 = 6$

$2x^2 - 4x + 6 = 0$

$x^2 - 2x + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $xy = -6$ (отрицательно) и $2x+y = -4$ (отрицательно).

$$ \begin{cases} xy = -6 \\ 2x+y = -4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y = -4-2x$ и подставим в первое:

$x(-4-2x) = -6$

$-4x - 2x^2 = -6$

$2x^2 + 4x - 6 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -4 - 2(1) = -6$. Получаем пару $(1, -6)$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$. Получаем пару $(-3, 2)$.

Обе пары удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $(1, -6), (-3, 2)$.